Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67641 / 71707
↖ ↑ ↗
← S 16.707232°
E  5.781555°		 ← 292.53 m → S 16.707232°
E  5.784302°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.709863°
E  5.781555°		 ← 292.53 m →
85 582 m²		 S 16.709863°
E  5.784302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516063690185547 y=0.547084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516063690185547 × 217)
    floor (0.516063690185547 × 131072)
    floor (67641.5)     		tx = 67641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547084808349609 × 217)
    floor (0.547084808349609 × 131072)
    floor (71707.5)     		ty = 71707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67641 / 71707 ti = "17/67641/71707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67641/71707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67641 ÷ 217
    67641 ÷ 131072     		x = 0.516059875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71707 ÷ 217
    71707 ÷ 131072     		y = 0.547080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516059875488281 × 2 - 1) × π
    0.0321197509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10090717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547080993652344 × 2 - 1) × π
    -0.0941619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.295818607555367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10090717} λ = 0.10090717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295818607555367))-π/2
    2×atan(0.743922357677276)-π/2
    2×0.63960005702341-π/2
    1.27920011404682-1.57079632675     		φ = -0.29159621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10090717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.781555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29159621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.707232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67641 KachelY 71707 0.10090717 -0.29159621 5.781555 -16.707232
    Oben rechts KachelX + 1 67642 KachelY 71707 0.10095511 -0.29159621 5.784302 -16.707232
    Unten links KachelX 67641 KachelY + 1 71708 0.10090717 -0.29164213 5.781555 -16.709863
    Unten rechts KachelX + 1 67642 KachelY + 1 71708 0.10095511 -0.29164213 5.784302 -16.709863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29159621--0.29164213) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29159621--0.29164213) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10090717-0.10095511) × cos(-0.29159621) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957786215157296 × 6371000     		do = 292.532563526194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10090717-0.10095511) × cos(-0.29164213) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957773013000741 × 6371000     		du = 292.528531247759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29159621)-sin(-0.29164213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957786215157296-0.957773013000741)×R²
    abs(0.10095511-0.10090717)×1.32021565548701e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32021565548701e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32021565548701e-05×40589641000000     		ar = 85581.6604461798m²