Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67640 / 71703
↖ ↑ ↗
← S 16.696709°
E  5.778809°		 ← 292.49 m → S 16.696709°
E  5.781555°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.699340°
E  5.778809°		 ← 292.48 m →
85 569 m²		 S 16.699340°
E  5.781555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516056060791016 y=0.547054290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516056060791016 × 217)
    floor (0.516056060791016 × 131072)
    floor (67640.5)     		tx = 67640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547054290771484 × 217)
    floor (0.547054290771484 × 131072)
    floor (71703.5)     		ty = 71703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67640 / 71703 ti = "17/67640/71703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67640/71703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67640 ÷ 217
    67640 ÷ 131072     		x = 0.51605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71703 ÷ 217
    71703 ÷ 131072     		y = 0.547050476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51605224609375 × 2 - 1) × π
    0.0321044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10085924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547050476074219 × 2 - 1) × π
    -0.0941009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.295626859956886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10085924} λ = 0.10085924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295626859956886))-π/2
    2×atan(0.74406501667964)-π/2
    2×0.63969188615709-π/2
    1.27938377231418-1.57079632675     		φ = -0.29141255
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10085924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.778809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29141255 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.696709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67640 KachelY 71703 0.10085924 -0.29141255 5.778809 -16.696709
    Oben rechts KachelX + 1 67641 KachelY 71703 0.10090717 -0.29141255 5.781555 -16.696709
    Unten links KachelX 67640 KachelY + 1 71704 0.10085924 -0.29145847 5.778809 -16.699340
    Unten rechts KachelX + 1 67641 KachelY + 1 71704 0.10090717 -0.29145847 5.781555 -16.699340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29141255--0.29145847) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dl = 292.556320000208m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29141255--0.29145847) × R
    4.59200000000326e-05 × 6371000     		dr = 292.556320000208m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10085924-0.10090717) × cos(-0.29141255) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.957838997840803 × 6371000     		do = 292.487660793843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10085924-0.10090717) × cos(-0.29145847) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.957825803762065 × 6371000     		du = 292.483631823175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29141255)-sin(-0.29145847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957838997840803-0.957825803762065)×R²
    abs(0.10090717-0.10085924)×1.31940787376772e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31940787376772e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31940787376772e-05×40589641000000     		ar = 85568.52435192m²