Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6764 / 2987
↖ ↑ ↗
← N 43.739352°
E117.246094°		 ← 3 530.45 m → N 43.739352°
E117.290039°		 →
↑
3 531.45 m
↓
↑
3 531.45 m
↓
N 43.707593°
E117.246094°		 ← 3 532.33 m →
12 470 913 m²		 N 43.707593°
E117.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82574462890625 y=0.36468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82574462890625 × 213)
    floor (0.82574462890625 × 8192)
    floor (6764.5)     		tx = 6764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36468505859375 × 213)
    floor (0.36468505859375 × 8192)
    floor (2987.5)     		ty = 2987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6764 / 2987 ti = "13/6764/2987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6764/2987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6764 ÷ 213
    6764 ÷ 8192     		x = 0.82568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2987 ÷ 213
    2987 ÷ 8192     		y = 0.3646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82568359375 × 2 - 1) × π
    0.6513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.04633037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3646240234375 × 2 - 1) × π
    0.270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.850592346858276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.04633037} λ = 2.04633037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.850592346858276))-π/2
    2×atan(2.34103314493082)-π/2
    2×1.1670960166238-π/2
    2.33419203324761-1.57079632675     		φ = 0.76339571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.04633037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76339571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.739352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6764 KachelY 2987 2.04633037 0.76339571 117.246094 43.739352
    Oben rechts KachelX + 1 6765 KachelY 2987 2.04709736 0.76339571 117.290039 43.739352
    Unten links KachelX 6764 KachelY + 1 2988 2.04633037 0.76284141 117.246094 43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 6765 KachelY + 1 2988 2.04709736 0.76284141 117.290039 43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76339571-0.76284141) × R
    0.000554299999999897 × 6371000     		dl = 3531.44529999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76339571-0.76284141) × R
    0.000554299999999897 × 6371000     		dr = 3531.44529999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.04633037-2.04709736) × cos(0.76339571) × R
    0.000766989999999801 × 0.722492458814021 × 6371000     		do = 3530.4545520694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.04633037-2.04709736) × cos(0.76284141) × R
    0.000766989999999801 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 3532.32666663747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76339571)-sin(0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722492458814021-0.72287557907163)×R²
    abs(2.04709736-2.04633037)×0.000383120257608338×R²
    0.000766989999999801×0.000383120257608338×6371000²
    0.000766989999999801×0.000383120257608338×40589641000000     		ar = 12470913.0891657m²