Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6764 / 1908
↖ ↑ ↗
← N 79.734280°
W 31.376953°		 ← 435.41 m → N 79.734280°
W 31.354981°		 →
↑
435.46 m
↓
↑
435.46 m
↓
N 79.730364°
W 31.376953°		 ← 435.58 m →
189 640 m²		 N 79.730364°
W 31.354981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412872314453125 y=0.116485595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412872314453125 × 214)
    floor (0.412872314453125 × 16384)
    floor (6764.5)     		tx = 6764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116485595703125 × 214)
    floor (0.116485595703125 × 16384)
    floor (1908.5)     		ty = 1908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6764 / 1908 ti = "14/6764/1908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6764/1908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6764 ÷ 214
    6764 ÷ 16384     		x = 0.412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1908 ÷ 214
    1908 ÷ 16384     		y = 0.116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116455078125 × 2 - 1) × π
    0.76708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.40988381769946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54763114} λ = -0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40988381769946))-π/2
    2×atan(11.1326676509874)-π/2
    2×1.48121102492282-π/2
    2.96242204984564-1.57079632675     		φ = 1.39162572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39162572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.734280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6764 KachelY 1908 -0.54763114 1.39162572 -31.376953 79.734280
    Oben rechts KachelX + 1 6765 KachelY 1908 -0.54724765 1.39162572 -31.354981 79.734280
    Unten links KachelX 6764 KachelY + 1 1909 -0.54763114 1.39155737 -31.376953 79.730364
    Unten rechts KachelX + 1 6765 KachelY + 1 1909 -0.54724765 1.39155737 -31.354981 79.730364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39162572-1.39155737) × R
    6.83500000000503e-05 × 6371000     		dl = 435.457850000321m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39162572-1.39155737) × R
    6.83500000000503e-05 × 6371000     		dr = 435.457850000321m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54763114--0.54724765) × cos(1.39162572) × R
    0.000383490000000042 × 0.178213518669095 × 6371000     		do = 435.413904590322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54763114--0.54724765) × cos(1.39155737) × R
    0.000383490000000042 × 0.178280774095045 × 6371000     		du = 435.57822404171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39162572)-sin(1.39155737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178213518669095-0.178280774095045)×R²
    abs(-0.54724765--0.54763114)×6.72554259496527e-05×R²
    0.000383490000000042×6.72554259496527e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.72554259496527e-05×40589641000000     		ar = 189640.179924869m²