Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6764 / 1684
↖ ↑ ↗
← N 80.575346°
W 31.376953°		 ← 400.08 m → N 80.575346°
W 31.354981°		 →
↑
400.16 m
↓
↑
400.16 m
↓
N 80.571747°
W 31.376953°		 ← 400.23 m →
160 126 m²		 N 80.571747°
W 31.354981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412872314453125 y=0.102813720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412872314453125 × 214)
    floor (0.412872314453125 × 16384)
    floor (6764.5)     		tx = 6764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102813720703125 × 214)
    floor (0.102813720703125 × 16384)
    floor (1684.5)     		ty = 1684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6764 / 1684 ti = "14/6764/1684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6764/1684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6764 ÷ 214
    6764 ÷ 16384     		x = 0.412841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1684 ÷ 214
    1684 ÷ 16384     		y = 0.102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.54763114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102783203125 × 2 - 1) × π
    0.79443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4957867418186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54763114} λ = -0.54763114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4957867418186))-π/2
    2×atan(12.1312739456969)-π/2
    2×1.48855070229685-π/2
    2.9771014045937-1.57079632675     		φ = 1.40630508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54763114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.376953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40630508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.575346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6764 KachelY 1684 -0.54763114 1.40630508 -31.376953 80.575346
    Oben rechts KachelX + 1 6765 KachelY 1684 -0.54724765 1.40630508 -31.354981 80.575346
    Unten links KachelX 6764 KachelY + 1 1685 -0.54763114 1.40624227 -31.376953 80.571747
    Unten rechts KachelX + 1 6765 KachelY + 1 1685 -0.54724765 1.40624227 -31.354981 80.571747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40630508-1.40624227) × R
    6.28100000001908e-05 × 6371000     		dl = 400.162510001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40630508-1.40624227) × R
    6.28100000001908e-05 × 6371000     		dr = 400.162510001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54763114--0.54724765) × cos(1.40630508) × R
    0.000383490000000042 × 0.163750466255574 × 6371000     		do = 400.077561025058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54763114--0.54724765) × cos(1.40624227) × R
    0.000383490000000042 × 0.163812428110057 × 6371000     		du = 400.228947144347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40630508)-sin(1.40624227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163750466255574-0.163812428110057)×R²
    abs(-0.54724765--0.54763114)×6.19618544832334e-05×R²
    0.000383490000000042×6.19618544832334e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.19618544832334e-05×40589641000000     		ar = 160126.330591336m²