Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67638 / 71688
↖ ↑ ↗
← S 16.657244°
E  5.773315°		 ← 292.61 m → S 16.657244°
E  5.776062°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.659875°
E  5.773315°		 ← 292.61 m →
85 604 m²		 S 16.659875°
E  5.776062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516040802001953 y=0.546939849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516040802001953 × 217)
    floor (0.516040802001953 × 131072)
    floor (67638.5)     		tx = 67638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546939849853516 × 217)
    floor (0.546939849853516 × 131072)
    floor (71688.5)     		ty = 71688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67638 / 71688 ti = "17/67638/71688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67638/71688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67638 ÷ 217
    67638 ÷ 131072     		x = 0.516036987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71688 ÷ 217
    71688 ÷ 131072     		y = 0.54693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516036987304688 × 2 - 1) × π
    0.032073974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10076336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.0938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.294907806462585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10076336} λ = 0.10076336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294907806462585))-π/2
    2×atan(0.7446002316309)-π/2
    2×0.640036290442262-π/2
    1.28007258088452-1.57079632675     		φ = -0.29072375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10076336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.773315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29072375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.657244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67638 KachelY 71688 0.10076336 -0.29072375 5.773315 -16.657244
    Oben rechts KachelX + 1 67639 KachelY 71688 0.10081130 -0.29072375 5.776062 -16.657244
    Unten links KachelX 67638 KachelY + 1 71689 0.10076336 -0.29076967 5.773315 -16.659875
    Unten rechts KachelX + 1 67639 KachelY + 1 71689 0.10081130 -0.29076967 5.776062 -16.659875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29072375--0.29076967) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29072375--0.29076967) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10076336-0.10081130) × cos(-0.29072375) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958036666637048 × 6371000     		do = 292.609057854816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10076336-0.10081130) × cos(-0.29076967) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958023502857385 × 6371000     		du = 292.605037297671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29072375)-sin(-0.29076967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958036666637048-0.958023502857385)×R²
    abs(0.10081130-0.10076336)×1.31637796625395e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.31637796625395e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.31637796625395e-05×40589641000000     		ar = 85604.0410599674m²