Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67635 / 71689
↖ ↑ ↗
← S 16.659875°
E  5.765076°		 ← 292.61 m → S 16.659875°
E  5.767822°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.662506°
E  5.765076°		 ← 292.60 m →
85 622 m²		 S 16.662506°
E  5.767822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516017913818359 y=0.546947479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516017913818359 × 217)
    floor (0.516017913818359 × 131072)
    floor (67635.5)     		tx = 67635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546947479248047 × 217)
    floor (0.546947479248047 × 131072)
    floor (71689.5)     		ty = 71689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67635 / 71689 ti = "17/67635/71689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67635/71689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67635 ÷ 217
    67635 ÷ 131072     		x = 0.516014099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71689 ÷ 217
    71689 ÷ 131072     		y = 0.546943664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516014099121094 × 2 - 1) × π
    0.0320281982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10061955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546943664550781 × 2 - 1) × π
    -0.0938873291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.294955743362206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10061955} λ = 0.10061955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294955743362206))-π/2
    2×atan(0.744564538659852)-π/2
    2×0.640013327946245-π/2
    1.28002665589249-1.57079632675     		φ = -0.29076967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10061955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.765076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29076967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.659875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67635 KachelY 71689 0.10061955 -0.29076967 5.765076 -16.659875
    Oben rechts KachelX + 1 67636 KachelY 71689 0.10066749 -0.29076967 5.767822 -16.659875
    Unten links KachelX 67635 KachelY + 1 71690 0.10061955 -0.29081560 5.765076 -16.662506
    Unten rechts KachelX + 1 67636 KachelY + 1 71690 0.10066749 -0.29081560 5.767822 -16.662506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29076967--0.29081560) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29076967--0.29081560) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10061955-0.10066749) × cos(-0.29076967) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958023502857385 × 6371000     		do = 292.605037297587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10061955-0.10066749) × cos(-0.29081560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958010334190253 × 6371000     		du = 292.601015247683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29076967)-sin(-0.29081560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958023502857385-0.958010334190253)×R²
    abs(0.10066749-0.10061955)×1.31686671319686e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31686671319686e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31686671319686e-05×40589641000000     		ar = 85621.5063410245m²