Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67631 / 71631
↖ ↑ ↗
← S 16.507199°
E  5.754089°		 ← 292.84 m → S 16.507199°
E  5.756836°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.509833°
E  5.754089°		 ← 292.83 m →
85 745 m²		 S 16.509833°
E  5.756836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515987396240234 y=0.546504974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515987396240234 × 217)
    floor (0.515987396240234 × 131072)
    floor (67631.5)     		tx = 67631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546504974365234 × 217)
    floor (0.546504974365234 × 131072)
    floor (71631.5)     		ty = 71631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67631 / 71631 ti = "17/67631/71631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67631/71631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67631 ÷ 217
    67631 ÷ 131072     		x = 0.515983581542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71631 ÷ 217
    71631 ÷ 131072     		y = 0.546501159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515983581542969 × 2 - 1) × π
    0.0319671630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10042780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546501159667969 × 2 - 1) × π
    -0.0930023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292175403184242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10042780} λ = 0.10042780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292175403184242))-π/2
    2×atan(0.746637561881228)-π/2
    2×0.641345672920395-π/2
    1.28269134584079-1.57079632675     		φ = -0.28810498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10042780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.754089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28810498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.507199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67631 KachelY 71631 0.10042780 -0.28810498 5.754089 -16.507199
    Oben rechts KachelX + 1 67632 KachelY 71631 0.10047574 -0.28810498 5.756836 -16.507199
    Unten links KachelX 67631 KachelY + 1 71632 0.10042780 -0.28815094 5.754089 -16.509833
    Unten rechts KachelX + 1 67632 KachelY + 1 71632 0.10047574 -0.28815094 5.756836 -16.509833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28810498--0.28815094) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28810498--0.28815094) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10042780-0.10047574) × cos(-0.28810498) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958784039799329 × 6371000     		do = 292.837324855877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10042780-0.10047574) × cos(-0.28815094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95877097990435 × 6371000     		du = 292.833336027789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28810498)-sin(-0.28815094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958784039799329-0.95877097990435)×R²
    abs(0.10047574-0.10042780)×1.30598949789063e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30598949789063e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30598949789063e-05×40589641000000     		ar = 85745.4528107123m²