Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67630 / 71634
↖ ↑ ↗
← S 16.515099°
E  5.751343°		 ← 292.76 m → S 16.515099°
E  5.754089°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.517733°
E  5.751343°		 ← 292.76 m →
85 724 m²		 S 16.517733°
E  5.754089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515979766845703 y=0.546527862548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515979766845703 × 217)
    floor (0.515979766845703 × 131072)
    floor (67630.5)     		tx = 67630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546527862548828 × 217)
    floor (0.546527862548828 × 131072)
    floor (71634.5)     		ty = 71634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67630 / 71634 ti = "17/67630/71634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67630/71634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67630 ÷ 217
    67630 ÷ 131072     		x = 0.515975952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71634 ÷ 217
    71634 ÷ 131072     		y = 0.546524047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515975952148438 × 2 - 1) × π
    0.031951904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10037987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546524047851562 × 2 - 1) × π
    -0.093048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.292319213883102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10037987} λ = 0.10037987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292319213883102))-π/2
    2×atan(0.746530195132087)-π/2
    2×0.641276732627745-π/2
    1.28255346525549-1.57079632675     		φ = -0.28824286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10037987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28824286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.515099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67630 KachelY 71634 0.10037987 -0.28824286 5.751343 -16.515099
    Oben rechts KachelX + 1 67631 KachelY 71634 0.10042780 -0.28824286 5.754089 -16.515099
    Unten links KachelX 67630 KachelY + 1 71635 0.10037987 -0.28828882 5.751343 -16.517733
    Unten rechts KachelX + 1 67631 KachelY + 1 71635 0.10042780 -0.28828882 5.754089 -16.517733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28824286--0.28828882) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28824286--0.28828882) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10037987-0.10042780) × cos(-0.28824286) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958744854038721 × 6371000     		do = 292.764274881327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10037987-0.10042780) × cos(-0.28828882) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958731788068127 × 6371000     		du = 292.760285030023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28824286)-sin(-0.28828882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958744854038721-0.958731788068127)×R²
    abs(0.10042780-0.10037987)×1.30659705941394e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.30659705941394e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.30659705941394e-05×40589641000000     		ar = 85724.0628131787m²