Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6763 / 8058
↖ ↑ ↗
← N 79.308756°
W142.849731°		 ← 113.31 m → N 79.308756°
W142.844239°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
N 79.307737°
W142.849731°		 ← 113.32 m →
12 836 m²		 N 79.307737°
W142.844239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103202819824219 y=0.122962951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103202819824219 × 216)
    floor (0.103202819824219 × 65536)
    floor (6763.5)     		tx = 6763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122962951660156 × 216)
    floor (0.122962951660156 × 65536)
    floor (8058.5)     		ty = 8058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6763 / 8058 ti = "16/6763/8058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6763/8058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6763 ÷ 216
    6763 ÷ 65536     		x = 0.103195190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8058 ÷ 216
    8058 ÷ 65536     		y = 0.122955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.103195190429688 × 2 - 1) × π
    -0.793609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.49319815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122955322265625 × 2 - 1) × π
    0.75408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36904157922317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49319815} λ = -2.49319815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36904157922317))-π/2
    2×atan(10.6871445926727)-π/2
    2×1.47749762042651-π/2
    2.95499524085302-1.57079632675     		φ = 1.38419891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49319815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.849731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38419891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.308756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6763 KachelY 8058 -2.49319815 1.38419891 -142.849731 79.308756
    Oben rechts KachelX + 1 6764 KachelY 8058 -2.49310228 1.38419891 -142.844239 79.308756
    Unten links KachelX 6763 KachelY + 1 8059 -2.49319815 1.38418113 -142.849731 79.307737
    Unten rechts KachelX + 1 6764 KachelY + 1 8059 -2.49310228 1.38418113 -142.844239 79.307737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38419891-1.38418113) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38419891-1.38418113) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49319815--2.49310228) × cos(1.38419891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185516457043486 × 6371000     		do = 113.311183095889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49319815--2.49310228) × cos(1.38418113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185533928373939 × 6371000     		du = 113.321854370856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38419891)-sin(1.38418113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185516457043486-0.185533928373939)×R²
    abs(-2.49310228--2.49319815)×1.74713304537666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74713304537666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74713304537666e-05×40589641000000     		ar = 12836.08503676m²