Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67626 / 71630
↖ ↑ ↗
← S 16.504566°
E  5.740356°		 ← 292.84 m → S 16.504566°
E  5.743103°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.507199°
E  5.740356°		 ← 292.84 m →
85 747 m²		 S 16.507199°
E  5.743103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515949249267578 y=0.546497344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515949249267578 × 217)
    floor (0.515949249267578 × 131072)
    floor (67626.5)     		tx = 67626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546497344970703 × 217)
    floor (0.546497344970703 × 131072)
    floor (71630.5)     		ty = 71630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67626 / 71630 ti = "17/67626/71630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67626/71630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67626 ÷ 217
    67626 ÷ 131072     		x = 0.515945434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71630 ÷ 217
    71630 ÷ 131072     		y = 0.546493530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515945434570312 × 2 - 1) × π
    0.031890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10018812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546493530273438 × 2 - 1) × π
    -0.092987060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292127466284622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10018812} λ = 0.10018812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292127466284622))-π/2
    2×atan(0.746673354228964)-π/2
    2×0.641368653644023-π/2
    1.28273730728805-1.57079632675     		φ = -0.28805902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10018812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.740356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28805902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.504566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67626 KachelY 71630 0.10018812 -0.28805902 5.740356 -16.504566
    Oben rechts KachelX + 1 67627 KachelY 71630 0.10023606 -0.28805902 5.743103 -16.504566
    Unten links KachelX 67626 KachelY + 1 71631 0.10018812 -0.28810498 5.740356 -16.507199
    Unten rechts KachelX + 1 67627 KachelY + 1 71631 0.10023606 -0.28810498 5.743103 -16.507199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28805902--0.28810498) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28805902--0.28810498) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.28805902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958797097669047 × 6371000     		do = 292.841313065399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.28810498) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958784039799329 × 6371000     		du = 292.837324855877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28805902)-sin(-0.28810498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958797097669047-0.958784039799329)×R²
    abs(0.10023606-0.10018812)×1.30578697187245e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30578697187245e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30578697187245e-05×40589641000000     		ar = 85746.6206936408m²