Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67626 / 71628
↖ ↑ ↗
← S 16.499299°
E  5.740356°		 ← 292.85 m → S 16.499299°
E  5.743103°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 16.501933°
E  5.740356°		 ← 292.85 m →
85 768 m²		 S 16.501933°
E  5.743103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515949249267578 y=0.546482086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515949249267578 × 217)
    floor (0.515949249267578 × 131072)
    floor (67626.5)     		tx = 67626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546482086181641 × 217)
    floor (0.546482086181641 × 131072)
    floor (71628.5)     		ty = 71628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67626 / 71628 ti = "17/67626/71628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67626/71628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67626 ÷ 217
    67626 ÷ 131072     		x = 0.515945434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71628 ÷ 217
    71628 ÷ 131072     		y = 0.546478271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515945434570312 × 2 - 1) × π
    0.031890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10018812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.09295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.292031592485382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10018812} λ = 0.10018812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292031592485382))-π/2
    2×atan(0.746744944071966)-π/2
    2×0.641414616030127-π/2
    1.28282923206025-1.57079632675     		φ = -0.28796709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10018812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.740356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28796709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.499299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67626 KachelY 71628 0.10018812 -0.28796709 5.740356 -16.499299
    Oben rechts KachelX + 1 67627 KachelY 71628 0.10023606 -0.28796709 5.743103 -16.499299
    Unten links KachelX 67626 KachelY + 1 71629 0.10018812 -0.28801306 5.740356 -16.501933
    Unten rechts KachelX + 1 67627 KachelY + 1 71629 0.10023606 -0.28801306 5.743103 -16.501933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28796709--0.28801306) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dl = 292.87487000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28796709--0.28801306) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dr = 292.87487000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.28796709) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95882321017263 × 6371000     		do = 292.849288496129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10018812-0.10023606) × cos(-0.28801306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958810153513478 × 6371000     		du = 292.845300656345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28796709)-sin(-0.28801306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95882321017263-0.958810153513478)×R²
    abs(0.10023606-0.10018812)×1.30566591517445e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30566591517445e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30566591517445e-05×40589641000000     		ar = 85767.6133438997m²