Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67623 / 71639
↖ ↑ ↗
← S 16.528265°
E  5.732117°		 ← 292.81 m → S 16.528265°
E  5.734863°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.530899°
E  5.732117°		 ← 292.80 m →
85 736 m²		 S 16.530899°
E  5.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515926361083984 y=0.546566009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515926361083984 × 217)
    floor (0.515926361083984 × 131072)
    floor (67623.5)     		tx = 67623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546566009521484 × 217)
    floor (0.546566009521484 × 131072)
    floor (71639.5)     		ty = 71639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67623 / 71639 ti = "17/67623/71639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67623/71639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67623 ÷ 217
    67623 ÷ 131072     		x = 0.515922546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71639 ÷ 217
    71639 ÷ 131072     		y = 0.546562194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515922546386719 × 2 - 1) × π
    0.0318450927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10004431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546562194824219 × 2 - 1) × π
    -0.0931243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292558898381203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10004431} λ = 0.10004431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292558898381203))-π/2
    2×atan(0.746351284858816)-π/2
    2×0.641161838403417-π/2
    1.28232367680683-1.57079632675     		φ = -0.28847265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10004431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.732117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28847265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.528265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67623 KachelY 71639 0.10004431 -0.28847265 5.732117 -16.528265
    Oben rechts KachelX + 1 67624 KachelY 71639 0.10009225 -0.28847265 5.734863 -16.528265
    Unten links KachelX 67623 KachelY + 1 71640 0.10004431 -0.28851861 5.732117 -16.530899
    Unten rechts KachelX + 1 67624 KachelY + 1 71640 0.10009225 -0.28851861 5.734863 -16.530899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28847265--0.28851861) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28847265--0.28851861) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10004431-0.10009225) × cos(-0.28847265) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958679506779411 × 6371000     		do = 292.805397780914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10004431-0.10009225) × cos(-0.28851861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958666430683785 × 6371000     		du = 292.801404004731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28847265)-sin(-0.28851861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958679506779411-0.958666430683785)×R²
    abs(0.10009225-0.10004431)×1.30760956267295e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30760956267295e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30760956267295e-05×40589641000000     		ar = 85736.1034824947m²