Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6762 / 1678
↖ ↑ ↗
← N 80.596910°
W 31.420898°		 ← 399.17 m → N 80.596910°
W 31.398926°		 →
↑
399.27 m
↓
↑
399.27 m
↓
N 80.593319°
W 31.420898°		 ← 399.32 m →
159 407 m²		 N 80.593319°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412750244140625 y=0.102447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412750244140625 × 214)
    floor (0.412750244140625 × 16384)
    floor (6762.5)     		tx = 6762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102447509765625 × 214)
    floor (0.102447509765625 × 16384)
    floor (1678.5)     		ty = 1678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6762 / 1678 ti = "14/6762/1678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6762/1678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6762 ÷ 214
    6762 ÷ 16384     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1678 ÷ 214
    1678 ÷ 16384     		y = 0.1024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1024169921875 × 2 - 1) × π
    0.795166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49808771300037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49808771300037))-π/2
    2×atan(12.1592197964127)-π/2
    2×1.48873888119124-π/2
    2.97747776238248-1.57079632675     		φ = 1.40668144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40668144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.596910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6762 KachelY 1678 -0.54839813 1.40668144 -31.420898 80.596910
    Oben rechts KachelX + 1 6763 KachelY 1678 -0.54801464 1.40668144 -31.398926 80.596910
    Unten links KachelX 6762 KachelY + 1 1679 -0.54839813 1.40661877 -31.420898 80.593319
    Unten rechts KachelX + 1 6763 KachelY + 1 1679 -0.54801464 1.40661877 -31.398926 80.593319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40668144-1.40661877) × R
    6.26700000001534e-05 × 6371000     		dl = 399.270570000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40668144-1.40661877) × R
    6.26700000001534e-05 × 6371000     		dr = 399.270570000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54801464) × cos(1.40668144) × R
    0.000383490000000042 × 0.163379174852689 × 6371000     		do = 399.17041637813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54801464) × cos(1.40661877) × R
    0.000383490000000042 × 0.163441002457008 × 6371000     		du = 399.321474495432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40668144)-sin(1.40661877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163379174852689-0.163441002457008)×R²
    abs(-0.54801464--0.54839813)×6.18276043187482e-05×R²
    0.000383490000000042×6.18276043187482e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.18276043187482e-05×40589641000000     		ar = 159407.156258811m²