Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6762 / 1635
↖ ↑ ↗
← N 80.750025°
W 31.420898°		 ← 392.73 m → N 80.750025°
W 31.398926°		 →
↑
392.84 m
↓
↑
392.84 m
↓
N 80.746492°
W 31.420898°		 ← 392.88 m →
154 307 m²		 N 80.746492°
W 31.398926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412750244140625 y=0.099822998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412750244140625 × 214)
    floor (0.412750244140625 × 16384)
    floor (6762.5)     		tx = 6762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099822998046875 × 214)
    floor (0.099822998046875 × 16384)
    floor (1635.5)     		ty = 1635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6762 / 1635 ti = "14/6762/1635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6762/1635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6762 ÷ 214
    6762 ÷ 16384     		x = 0.4127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1635 ÷ 214
    1635 ÷ 16384     		y = 0.09979248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    -0.174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54839813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09979248046875 × 2 - 1) × π
    0.8004150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51457800646967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54839813} λ = -0.54839813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51457800646967))-π/2
    2×atan(12.3613912511742)-π/2
    2×1.49007506640557-π/2
    2.98015013281115-1.57079632675     		φ = 1.40935381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54839813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.420898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40935381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.750025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6762 KachelY 1635 -0.54839813 1.40935381 -31.420898 80.750025
    Oben rechts KachelX + 1 6763 KachelY 1635 -0.54801464 1.40935381 -31.398926 80.750025
    Unten links KachelX 6762 KachelY + 1 1636 -0.54839813 1.40929215 -31.420898 80.746492
    Unten rechts KachelX + 1 6763 KachelY + 1 1636 -0.54801464 1.40929215 -31.398926 80.746492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40935381-1.40929215) × R
    6.16600000000744e-05 × 6371000     		dl = 392.835860000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40935381-1.40929215) × R
    6.16600000000744e-05 × 6371000     		dr = 392.835860000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54839813--0.54801464) × cos(1.40935381) × R
    0.000383490000000042 × 0.160742132298016 × 6371000     		do = 392.727555006693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54839813--0.54801464) × cos(1.40929215) × R
    0.000383490000000042 × 0.160802990192724 × 6371000     		du = 392.876243915131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40935381)-sin(1.40929215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160742132298016-0.160802990192724)×R²
    abs(-0.54801464--0.54839813)×6.0857894707611e-05×R²
    0.000383490000000042×6.0857894707611e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.0857894707611e-05×40589641000000     		ar = 154306.672033289m²