Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67617 / 71641
↖ ↑ ↗
← S 16.533531°
E  5.715637°		 ← 292.80 m → S 16.533531°
E  5.718384°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.536165°
E  5.715637°		 ← 292.79 m →
85 734 m²		 S 16.536165°
E  5.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515880584716797 y=0.546581268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515880584716797 × 217)
    floor (0.515880584716797 × 131072)
    floor (67617.5)     		tx = 67617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546581268310547 × 217)
    floor (0.546581268310547 × 131072)
    floor (71641.5)     		ty = 71641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67617 / 71641 ti = "17/67617/71641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67617/71641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67617 ÷ 217
    67617 ÷ 131072     		x = 0.515876770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71641 ÷ 217
    71641 ÷ 131072     		y = 0.546577453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515876770019531 × 2 - 1) × π
    0.0317535400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09975669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546577453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0931549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.292654772180443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09975669} λ = 0.09975669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292654772180443))-π/2
    2×atan(0.74627973275561)-π/2
    2×0.641115882906918-π/2
    1.28223176581384-1.57079632675     		φ = -0.28856456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09975669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.715637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28856456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.533531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67617 KachelY 71641 0.09975669 -0.28856456 5.715637 -16.533531
    Oben rechts KachelX + 1 67618 KachelY 71641 0.09980463 -0.28856456 5.718384 -16.533531
    Unten links KachelX 67617 KachelY + 1 71642 0.09975669 -0.28861052 5.715637 -16.536165
    Unten rechts KachelX + 1 67618 KachelY + 1 71642 0.09980463 -0.28861052 5.718384 -16.536165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28856456--0.28861052) × R
    4.5959999999956e-05 × 6371000     		dl = 292.81115999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28856456--0.28861052) × R
    4.5959999999956e-05 × 6371000     		dr = 292.81115999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09975669-0.09980463) × cos(-0.28856456) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958653355408911 × 6371000     		do = 292.797410479312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09975669-0.09980463) × cos(-0.28861052) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958640275263728 × 6371000     		du = 292.79341546629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28856456)-sin(-0.28861052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958653355408911-0.958640275263728)×R²
    abs(0.09980463-0.09975669)×1.30801451821982e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.30801451821982e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.30801451821982e-05×40589641000000     		ar = 85733.764530259m²