Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67615 / 71625
↖ ↑ ↗
← S 16.491398°
E  5.710144°		 ← 292.86 m → S 16.491398°
E  5.712891°		 →
↑
292.87 m
↓
↑
292.87 m
↓
S 16.494032°
E  5.710144°		 ← 292.86 m →
85 771 m²		 S 16.494032°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515865325927734 y=0.546459197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515865325927734 × 217)
    floor (0.515865325927734 × 131072)
    floor (67615.5)     		tx = 67615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546459197998047 × 217)
    floor (0.546459197998047 × 131072)
    floor (71625.5)     		ty = 71625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67615 / 71625 ti = "17/67615/71625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67615/71625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67615 ÷ 217
    67615 ÷ 131072     		x = 0.515861511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71625 ÷ 217
    71625 ÷ 131072     		y = 0.546455383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515861511230469 × 2 - 1) × π
    0.0317230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09966081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546455383300781 × 2 - 1) × π
    -0.0929107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.291887781786522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09966081} λ = 0.09966081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.291887781786522))-π/2
    2×atan(0.746852341706523)-π/2
    2×0.641483561955742-π/2
    1.28296712391148-1.57079632675     		φ = -0.28782920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09966081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.710144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28782920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.491398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67615 KachelY 71625 0.09966081 -0.28782920 5.710144 -16.491398
    Oben rechts KachelX + 1 67616 KachelY 71625 0.09970875 -0.28782920 5.712891 -16.491398
    Unten links KachelX 67615 KachelY + 1 71626 0.09966081 -0.28787517 5.710144 -16.494032
    Unten rechts KachelX + 1 67616 KachelY + 1 71626 0.09970875 -0.28787517 5.712891 -16.494032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28782920--0.28787517) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dl = 292.87487000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28782920--0.28787517) × R
    4.59700000000063e-05 × 6371000     		dr = 292.87487000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09966081-0.09970875) × cos(-0.28782920) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.9588623623152 × 6371000     		do = 292.861246568246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09966081-0.09970875) × cos(-0.28787517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958849311733923 × 6371000     		du = 292.857260584802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28782920)-sin(-0.28787517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9588623623152-0.958849311733923)×R²
    abs(0.09970875-0.09966081)×1.30505812772075e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30505812772075e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30505812772075e-05×40589641000000     		ar = 85771.1158346313m²