Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67614 / 71677
↖ ↑ ↗
← S 16.628297°
E  5.707398°		 ← 292.59 m → S 16.628297°
E  5.710144°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.630929°
E  5.707398°		 ← 292.59 m →
85 618 m²		 S 16.630929°
E  5.710144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515857696533203 y=0.546855926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515857696533203 × 217)
    floor (0.515857696533203 × 131072)
    floor (67614.5)     		tx = 67614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546855926513672 × 217)
    floor (0.546855926513672 × 131072)
    floor (71677.5)     		ty = 71677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67614 / 71677 ti = "17/67614/71677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67614/71677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67614 ÷ 217
    67614 ÷ 131072     		x = 0.515853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71677 ÷ 217
    71677 ÷ 131072     		y = 0.546852111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515853881835938 × 2 - 1) × π
    0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546852111816406 × 2 - 1) × π
    -0.0937042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.294380500566765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09961288} λ = 0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294380500566765))-π/2
    2×atan(0.744992967259875)-π/2
    2×0.640288898713575-π/2
    1.28057779742715-1.57079632675     		φ = -0.29021853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29021853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.628297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67614 KachelY 71677 0.09961288 -0.29021853 5.707398 -16.628297
    Oben rechts KachelX + 1 67615 KachelY 71677 0.09966081 -0.29021853 5.710144 -16.628297
    Unten links KachelX 67614 KachelY + 1 71678 0.09961288 -0.29026446 5.707398 -16.630929
    Unten rechts KachelX + 1 67615 KachelY + 1 71678 0.09966081 -0.29026446 5.710144 -16.630929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29021853--0.29026446) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dl = 292.620030000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29021853--0.29026446) × R
    4.59300000000273e-05 × 6371000     		dr = 292.620030000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09961288-0.09966081) × cos(-0.29021853) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958181363492801 × 6371000     		do = 292.592206264339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09961288-0.09966081) × cos(-0.29026446) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958168219078775 × 6371000     		du = 292.588192459389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29021853)-sin(-0.29026446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958181363492801-0.958168219078775)×R²
    abs(0.09966081-0.09961288)×1.31444140268888e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31444140268888e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31444140268888e-05×40589641000000     		ar = 85617.7529300928m²