Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67614 / 71674
↖ ↑ ↗
← S 16.620402°
E  5.707398°		 ← 292.60 m → S 16.620402°
E  5.710144°		 →
↑
292.62 m
↓
↑
292.62 m
↓
S 16.623033°
E  5.707398°		 ← 292.60 m →
85 621 m²		 S 16.623033°
E  5.710144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515857696533203 y=0.546833038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515857696533203 × 217)
    floor (0.515857696533203 × 131072)
    floor (67614.5)     		tx = 67614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546833038330078 × 217)
    floor (0.546833038330078 × 131072)
    floor (71674.5)     		ty = 71674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67614 / 71674 ti = "17/67614/71674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67614/71674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67614 ÷ 217
    67614 ÷ 131072     		x = 0.515853881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71674 ÷ 217
    71674 ÷ 131072     		y = 0.546829223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515853881835938 × 2 - 1) × π
    0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546829223632812 × 2 - 1) × π
    -0.093658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.294236689867905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09961288} λ = 0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.294236689867905))-π/2
    2×atan(0.745100112923304)-π/2
    2×0.640357798496839-π/2
    1.28071559699368-1.57079632675     		φ = -0.29008073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29008073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.620402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67614 KachelY 71674 0.09961288 -0.29008073 5.707398 -16.620402
    Oben rechts KachelX + 1 67615 KachelY 71674 0.09966081 -0.29008073 5.710144 -16.620402
    Unten links KachelX 67614 KachelY + 1 71675 0.09961288 -0.29012666 5.707398 -16.623033
    Unten rechts KachelX + 1 67615 KachelY + 1 71675 0.09966081 -0.29012666 5.710144 -16.623033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29008073--0.29012666) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dl = 292.620029999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29008073--0.29012666) × R
    4.59299999999718e-05 × 6371000     		dr = 292.620029999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09961288-0.09966081) × cos(-0.29008073) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958220787466992 × 6371000     		do = 292.604244849129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09961288-0.09966081) × cos(-0.29012666) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958207649117526 × 6371000     		du = 292.600232896065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29008073)-sin(-0.29012666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958220787466992-0.958207649117526)×R²
    abs(0.09966081-0.09961288)×1.31383494662574e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31383494662574e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31383494662574e-05×40589641000000     		ar = 85621.2759319402m²