Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67613 / 71699
↖ ↑ ↗
← S 16.686186°
E  5.704651°		 ← 292.56 m → S 16.686186°
E  5.707398°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
S 16.688817°
E  5.704651°		 ← 292.56 m →
85 572 m²		 S 16.688817°
E  5.707398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515850067138672 y=0.547023773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515850067138672 × 217)
    floor (0.515850067138672 × 131072)
    floor (67613.5)     		tx = 67613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547023773193359 × 217)
    floor (0.547023773193359 × 131072)
    floor (71699.5)     		ty = 71699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67613 / 71699 ti = "17/67613/71699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67613/71699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67613 ÷ 217
    67613 ÷ 131072     		x = 0.515846252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71699 ÷ 217
    71699 ÷ 131072     		y = 0.547019958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515846252441406 × 2 - 1) × π
    0.0316925048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09956494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547019958496094 × 2 - 1) × π
    -0.0940399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.295435112358406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09956494} λ = 0.09956494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295435112358406))-π/2
    2×atan(0.744207703039148)-π/2
    2×0.63978372034979-π/2
    1.27956744069958-1.57079632675     		φ = -0.29122889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09956494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.704651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29122889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.686186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67613 KachelY 71699 0.09956494 -0.29122889 5.704651 -16.686186
    Oben rechts KachelX + 1 67614 KachelY 71699 0.09961288 -0.29122889 5.707398 -16.686186
    Unten links KachelX 67613 KachelY + 1 71700 0.09956494 -0.29127480 5.704651 -16.688817
    Unten rechts KachelX + 1 67614 KachelY + 1 71700 0.09961288 -0.29127480 5.707398 -16.688817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29122889--0.29127480) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29122889--0.29127480) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09956494-0.09961288) × cos(-0.29122889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957891748215446 × 6371000     		do = 292.564796038574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09956494-0.09961288) × cos(-0.29127480) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957878565086706 × 6371000     		du = 292.560769571723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29122889)-sin(-0.29127480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957891748215446-0.957878565086706)×R²
    abs(0.09961288-0.09956494)×1.31831287398798e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31831287398798e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31831287398798e-05×40589641000000     		ar = 85572.45194654m²