Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67610 / 71669
↖ ↑ ↗
← S 16.607242°
E  5.696411°		 ← 292.69 m → S 16.607242°
E  5.699158°		 →
↑
292.68 m
↓
↑
292.68 m
↓
S 16.609874°
E  5.696411°		 ← 292.68 m →
85 664 m²		 S 16.609874°
E  5.699158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515827178955078 y=0.546794891357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515827178955078 × 217)
    floor (0.515827178955078 × 131072)
    floor (67610.5)     		tx = 67610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546794891357422 × 217)
    floor (0.546794891357422 × 131072)
    floor (71669.5)     		ty = 71669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67610 / 71669 ti = "17/67610/71669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67610/71669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67610 ÷ 217
    67610 ÷ 131072     		x = 0.515823364257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71669 ÷ 217
    71669 ÷ 131072     		y = 0.546791076660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515823364257812 × 2 - 1) × π
    0.031646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09942113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546791076660156 × 2 - 1) × π
    -0.0935821533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.293997005369804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09942113} λ = 0.09942113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293997005369804))-π/2
    2×atan(0.745278723274116)-π/2
    2×0.640472637766558-π/2
    1.28094527553312-1.57079632675     		φ = -0.28985105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09942113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.696411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28985105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.607242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67610 KachelY 71669 0.09942113 -0.28985105 5.696411 -16.607242
    Oben rechts KachelX + 1 67611 KachelY 71669 0.09946907 -0.28985105 5.699158 -16.607242
    Unten links KachelX 67610 KachelY + 1 71670 0.09942113 -0.28989699 5.696411 -16.609874
    Unten rechts KachelX + 1 67611 KachelY + 1 71670 0.09946907 -0.28989699 5.699158 -16.609874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28985105--0.28989699) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dl = 292.683740000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28985105--0.28989699) × R
    4.59400000000221e-05 × 6371000     		dr = 292.683740000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09942113-0.09946907) × cos(-0.28985105) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958286457466621 × 6371000     		do = 292.685350403783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09942113-0.09946907) × cos(-0.28989699) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.958273326367361 × 6371000     		du = 292.681339828075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28985105)-sin(-0.28989699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958286457466621-0.958273326367361)×R²
    abs(0.09946907-0.09942113)×1.3131099259267e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.3131099259267e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.3131099259267e-05×40589641000000     		ar = 85663.6560993699m²