Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6761 / 2025
↖ ↑ ↗
← N 79.265870°
W 31.442871°		 ← 455.07 m → N 79.265870°
W 31.420898°		 →
↑
455.14 m
↓
↑
455.14 m
↓
N 79.261777°
W 31.442871°		 ← 455.24 m →
207 159 m²		 N 79.261777°
W 31.420898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412689208984375 y=0.123626708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412689208984375 × 214)
    floor (0.412689208984375 × 16384)
    floor (6761.5)     		tx = 6761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123626708984375 × 214)
    floor (0.123626708984375 × 16384)
    floor (2025.5)     		ty = 2025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6761 / 2025 ti = "14/6761/2025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6761/2025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6761 ÷ 214
    6761 ÷ 16384     		x = 0.41265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2025 ÷ 214
    2025 ÷ 16384     		y = 0.12359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1746826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54878163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12359619140625 × 2 - 1) × π
    0.7528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36501487965509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54878163} λ = -0.54878163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36501487965509))-π/2
    2×atan(10.6441971983147)-π/2
    2×1.47712337102378-π/2
    2.95424674204756-1.57079632675     		φ = 1.38345042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54878163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.442871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38345042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.265870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6761 KachelY 2025 -0.54878163 1.38345042 -31.442871 79.265870
    Oben rechts KachelX + 1 6762 KachelY 2025 -0.54839813 1.38345042 -31.420898 79.265870
    Unten links KachelX 6761 KachelY + 1 2026 -0.54878163 1.38337898 -31.442871 79.261777
    Unten rechts KachelX + 1 6762 KachelY + 1 2026 -0.54839813 1.38337898 -31.420898 79.261777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38345042-1.38337898) × R
    7.14399999999227e-05 × 6371000     		dl = 455.144239999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38345042-1.38337898) × R
    7.14399999999227e-05 × 6371000     		dr = 455.144239999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54878163--0.54839813) × cos(1.38345042) × R
    0.000383499999999981 × 0.186251902088078 × 6371000     		do = 455.065267955884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54878163--0.54839813) × cos(1.38337898) × R
    0.000383499999999981 × 0.186322091557394 × 6371000     		du = 455.23676037719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38345042)-sin(1.38337898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186251902088078-0.186322091557394)×R²
    abs(-0.54839813--0.54878163)×7.01894693159177e-05×R²
    0.000383499999999981×7.01894693159177e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.01894693159177e-05×40589641000000     		ar = 207159.362516255m²