Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67608 / 71645
↖ ↑ ↗
← S 16.544064°
E  5.690918°		 ← 292.72 m → S 16.544064°
E  5.693664°		 →
↑
292.75 m
↓
↑
292.75 m
↓
S 16.546696°
E  5.690918°		 ← 292.72 m →
85 693 m²		 S 16.546696°
E  5.693664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515811920166016 y=0.546611785888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515811920166016 × 217)
    floor (0.515811920166016 × 131072)
    floor (67608.5)     		tx = 67608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546611785888672 × 217)
    floor (0.546611785888672 × 131072)
    floor (71645.5)     		ty = 71645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67608 / 71645 ti = "17/67608/71645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67608/71645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67608 ÷ 217
    67608 ÷ 131072     		x = 0.51580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71645 ÷ 217
    71645 ÷ 131072     		y = 0.546607971191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51580810546875 × 2 - 1) × π
    0.0316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09932526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546607971191406 × 2 - 1) × π
    -0.0932159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.292846519778923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09932526} λ = 0.09932526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292846519778923))-π/2
    2×atan(0.746136649127469)-π/2
    2×0.641023975675692-π/2
    1.28204795135138-1.57079632675     		φ = -0.28874838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09932526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.690918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28874838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.544064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67608 KachelY 71645 0.09932526 -0.28874838 5.690918 -16.544064
    Oben rechts KachelX + 1 67609 KachelY 71645 0.09937319 -0.28874838 5.693664 -16.544064
    Unten links KachelX 67608 KachelY + 1 71646 0.09932526 -0.28879433 5.690918 -16.546696
    Unten rechts KachelX + 1 67609 KachelY + 1 71646 0.09937319 -0.28879433 5.693664 -16.546696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28874838--0.28879433) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dl = 292.747449999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28874838--0.28879433) × R
    4.59499999999613e-05 × 6371000     		dr = 292.747449999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09932526-0.09937319) × cos(-0.28874838) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958601028373606 × 6371000     		do = 292.720355984262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09932526-0.09937319) × cos(-0.28879433) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.958587942977612 × 6371000     		du = 292.716360201177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28874838)-sin(-0.28879433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958601028373606-0.958587942977612)×R²
    abs(0.09937319-0.09932526)×1.30853959944277e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.30853959944277e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.30853959944277e-05×40589641000000     		ar = 85692.5529148299m²