Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67604 / 71692
↖ ↑ ↗
← S 16.667769°
E  5.679932°		 ← 292.59 m → S 16.667769°
E  5.682678°		 →
↑
292.56 m
↓
↑
292.56 m
↓
S 16.670400°
E  5.679932°		 ← 292.59 m →
85 599 m²		 S 16.670400°
E  5.682678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515781402587891 y=0.546970367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515781402587891 × 217)
    floor (0.515781402587891 × 131072)
    floor (67604.5)     		tx = 67604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546970367431641 × 217)
    floor (0.546970367431641 × 131072)
    floor (71692.5)     		ty = 71692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67604 / 71692 ti = "17/67604/71692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67604/71692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67604 ÷ 217
    67604 ÷ 131072     		x = 0.515777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71692 ÷ 217
    71692 ÷ 131072     		y = 0.546966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515777587890625 × 2 - 1) × π
    0.03155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09913351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.09393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.295099554061066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09913351} λ = 0.09913351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295099554061066))-π/2
    2×atan(0.744457470012193)-π/2
    2×0.639944442351799-π/2
    1.2798888847036-1.57079632675     		φ = -0.29090744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09913351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29090744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.667769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67604 KachelY 71692 0.09913351 -0.29090744 5.679932 -16.667769
    Oben rechts KachelX + 1 67605 KachelY 71692 0.09918145 -0.29090744 5.682678 -16.667769
    Unten links KachelX 67604 KachelY + 1 71693 0.09913351 -0.29095336 5.679932 -16.670400
    Unten rechts KachelX + 1 67605 KachelY + 1 71693 0.09918145 -0.29095336 5.682678 -16.670400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29090744--0.29095336) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dl = 292.556319999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29090744--0.29095336) × R
    4.59199999999771e-05 × 6371000     		dr = 292.556319999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09913351-0.09918145) × cos(-0.29090744) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.957983996529495 × 6371000     		do = 292.592971048241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09913351-0.09918145) × cos(-0.29095336) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.957970824669028 × 6371000     		du = 292.58894802301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29090744)-sin(-0.29095336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957983996529495-0.957970824669028)×R²
    abs(0.09918145-0.09913351)×1.31718604671205e-05×R²
    4.79400000000102e-05×1.31718604671205e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×1.31718604671205e-05×40589641000000     		ar = 85599.3344019869m²