Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67603 / 71713
↖ ↑ ↗
← S 16.723015°
E  5.677185°		 ← 292.51 m → S 16.723015°
E  5.679932°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
S 16.725646°
E  5.677185°		 ← 292.50 m →
85 556 m²		 S 16.725646°
E  5.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515773773193359 y=0.547130584716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515773773193359 × 217)
    floor (0.515773773193359 × 131072)
    floor (67603.5)     		tx = 67603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547130584716797 × 217)
    floor (0.547130584716797 × 131072)
    floor (71713.5)     		ty = 71713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67603 / 71713 ti = "17/67603/71713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67603/71713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67603 ÷ 217
    67603 ÷ 131072     		x = 0.515769958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71713 ÷ 217
    71713 ÷ 131072     		y = 0.547126770019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515769958496094 × 2 - 1) × π
    0.0315399169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09908557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547126770019531 × 2 - 1) × π
    -0.0942535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.296106228953087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09908557} λ = 0.09908557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.296106228953087))-π/2
    2×atan(0.743708420456902)-π/2
    2×0.639462322814716-π/2
    1.27892464562943-1.57079632675     		φ = -0.29187168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09908557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.677185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29187168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.723015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67603 KachelY 71713 0.09908557 -0.29187168 5.677185 -16.723015
    Oben rechts KachelX + 1 67604 KachelY 71713 0.09913351 -0.29187168 5.679932 -16.723015
    Unten links KachelX 67603 KachelY + 1 71714 0.09908557 -0.29191759 5.677185 -16.725646
    Unten rechts KachelX + 1 67604 KachelY + 1 71714 0.09913351 -0.29191759 5.679932 -16.725646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29187168--0.29191759) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29187168--0.29191759) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09908557-0.09913351) × cos(-0.29187168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957706986311718 × 6371000     		do = 292.508364997404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09908557-0.09913351) × cos(-0.29191759) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957693774918044 × 6371000     		du = 292.504329897715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29187168)-sin(-0.29191759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957706986311718-0.957693774918044)×R²
    abs(0.09913351-0.09908557)×1.32113936737177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32113936737177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32113936737177e-05×40589641000000     		ar = 85555.9450214294m²