Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6760 / 1816
↖ ↑ ↗
← N 80.088352°
W 31.464844°		 ← 420.55 m → N 80.088352°
W 31.442871°		 →
↑
420.61 m
↓
↑
420.61 m
↓
N 80.084570°
W 31.464844°		 ← 420.71 m →
176 922 m²		 N 80.084570°
W 31.442871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412628173828125 y=0.110870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412628173828125 × 214)
    floor (0.412628173828125 × 16384)
    floor (6760.5)     		tx = 6760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110870361328125 × 214)
    floor (0.110870361328125 × 16384)
    floor (1816.5)     		ty = 1816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6760 / 1816 ti = "14/6760/1816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6760/1816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6760 ÷ 214
    6760 ÷ 16384     		x = 0.41259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1816 ÷ 214
    1816 ÷ 16384     		y = 0.11083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    -0.1748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.54916512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11083984375 × 2 - 1) × π
    0.7783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44516537581982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54916512} λ = -0.54916512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44516537581982))-π/2
    2×atan(11.5324566306159)-π/2
    2×1.48430088469322-π/2
    2.96860176938645-1.57079632675     		φ = 1.39780544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54916512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.464844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39780544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.088352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6760 KachelY 1816 -0.54916512 1.39780544 -31.464844 80.088352
    Oben rechts KachelX + 1 6761 KachelY 1816 -0.54878163 1.39780544 -31.442871 80.088352
    Unten links KachelX 6760 KachelY + 1 1817 -0.54916512 1.39773942 -31.464844 80.084570
    Unten rechts KachelX + 1 6761 KachelY + 1 1817 -0.54878163 1.39773942 -31.442871 80.084570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39780544-1.39773942) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dl = 420.61342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39780544-1.39773942) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dr = 420.61342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54916512--0.54878163) × cos(1.39780544) × R
    0.000383489999999931 × 0.172129360435112 × 6371000     		do = 420.548999208229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54916512--0.54878163) × cos(1.39773942) × R
    0.000383489999999931 × 0.172194394668803 × 6371000     		du = 420.70789180984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39780544)-sin(1.39773942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172129360435112-0.172194394668803)×R²
    abs(-0.54878163--0.54916512)×6.50342336911414e-05×R²
    0.000383489999999931×6.50342336911414e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.50342336911414e-05×40589641000000     		ar = 176921.969079409m²