Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67596 / 71644
↖ ↑ ↗
← S 16.541430°
E  5.657959°		 ← 292.79 m → S 16.541430°
E  5.660706°		 →
↑
292.81 m
↓
↑
292.81 m
↓
S 16.544064°
E  5.657959°		 ← 292.78 m →
85 730 m²		 S 16.544064°
E  5.660706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515720367431641 y=0.546604156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515720367431641 × 217)
    floor (0.515720367431641 × 131072)
    floor (67596.5)     		tx = 67596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546604156494141 × 217)
    floor (0.546604156494141 × 131072)
    floor (71644.5)     		ty = 71644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67596 / 71644 ti = "17/67596/71644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67596/71644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67596 ÷ 217
    67596 ÷ 131072     		x = 0.515716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71644 ÷ 217
    71644 ÷ 131072     		y = 0.546600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515716552734375 × 2 - 1) × π
    0.03143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09875001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.09320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.292798582879303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09875001} λ = 0.09875001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.292798582879303))-π/2
    2×atan(0.746172417462426)-π/2
    2×0.641046952013166-π/2
    1.28209390402633-1.57079632675     		φ = -0.28870242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09875001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28870242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.541430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67596 KachelY 71644 0.09875001 -0.28870242 5.657959 -16.541430
    Oben rechts KachelX + 1 67597 KachelY 71644 0.09879795 -0.28870242 5.660706 -16.541430
    Unten links KachelX 67596 KachelY + 1 71645 0.09875001 -0.28874838 5.657959 -16.544064
    Unten rechts KachelX + 1 67597 KachelY + 1 71645 0.09879795 -0.28874838 5.660706 -16.544064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28870242--0.28874838) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dl = 292.811160000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28870242--0.28874838) × R
    4.59600000000115e-05 × 6371000     		dr = 292.811160000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09875001-0.09879795) × cos(-0.28870242) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958614114592694 × 6371000     		do = 292.785425323896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09875001-0.09879795) × cos(-0.28874838) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.958601028373606 × 6371000     		du = 292.781428455747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28870242)-sin(-0.28874838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958614114592694-0.958601028373606)×R²
    abs(0.09879795-0.09875001)×1.30862190877989e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.30862190877989e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.30862190877989e-05×40589641000000     		ar = 85730.254871472m²