Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67596 / 69349
↖ ↑ ↗
← S 10.414885°
E  5.657959°		 ← 300.39 m → S 10.414885°
E  5.660706°		 →
↑
300.33 m
↓
↑
300.33 m
↓
S 10.417586°
E  5.657959°		 ← 300.39 m →
90 217 m²		 S 10.417586°
E  5.660706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515720367431641 y=0.529094696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515720367431641 × 217)
    floor (0.515720367431641 × 131072)
    floor (67596.5)     		tx = 67596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529094696044922 × 217)
    floor (0.529094696044922 × 131072)
    floor (69349.5)     		ty = 69349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67596 / 69349 ti = "17/67596/69349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67596/69349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67596 ÷ 217
    67596 ÷ 131072     		x = 0.515716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69349 ÷ 217
    69349 ÷ 131072     		y = 0.529090881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515716552734375 × 2 - 1) × π
    0.03143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09875001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529090881347656 × 2 - 1) × π
    -0.0581817626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.182783398251274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09875001} λ = 0.09875001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.182783398251274))-π/2
    2×atan(0.832948554312525)-π/2
    2×0.694511150519543-π/2
    1.38902230103909-1.57079632675     		φ = -0.18177403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09875001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18177403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.414885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67596 KachelY 69349 0.09875001 -0.18177403 5.657959 -10.414885
    Oben rechts KachelX + 1 67597 KachelY 69349 0.09879795 -0.18177403 5.660706 -10.414885
    Unten links KachelX 67596 KachelY + 1 69350 0.09875001 -0.18182117 5.657959 -10.417586
    Unten rechts KachelX + 1 67597 KachelY + 1 69350 0.09879795 -0.18182117 5.660706 -10.417586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18177403--0.18182117) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dl = 300.328940000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18177403--0.18182117) × R
    4.71400000000011e-05 × 6371000     		dr = 300.328940000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09875001-0.09879795) × cos(-0.18177403) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983524540953178 × 6371000     		do = 300.393710728762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09875001-0.09879795) × cos(-0.18182117) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.983516018142971 × 6371000     		du = 300.391107643147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18177403)-sin(-0.18182117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983524540953178-0.983516018142971)×R²
    abs(0.09879795-0.09875001)×8.52281020702339e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.52281020702339e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.52281020702339e-06×40589641000000     		ar = 90216.5338515408m²