Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67588 / 71708
↖ ↑ ↗
← S 16.709863°
E  5.635986°		 ← 292.47 m → S 16.709863°
E  5.638733°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
S 16.712494°
E  5.635986°		 ← 292.46 m →
85 544 m²		 S 16.712494°
E  5.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515659332275391 y=0.547092437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515659332275391 × 217)
    floor (0.515659332275391 × 131072)
    floor (67588.5)     		tx = 67588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547092437744141 × 217)
    floor (0.547092437744141 × 131072)
    floor (71708.5)     		ty = 71708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67588 / 71708 ti = "17/67588/71708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67588/71708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67588 ÷ 217
    67588 ÷ 131072     		x = 0.515655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71708 ÷ 217
    71708 ÷ 131072     		y = 0.547088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515655517578125 × 2 - 1) × π
    0.03131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09836652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547088623046875 × 2 - 1) × π
    -0.09417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.295866544454987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09836652} λ = 0.09836652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295866544454987))-π/2
    2×atan(0.743886697200624)-π/2
    2×0.639577100530792-π/2
    1.27915420106158-1.57079632675     		φ = -0.29164213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09836652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.635986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29164213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.709863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67588 KachelY 71708 0.09836652 -0.29164213 5.635986 -16.709863
    Oben rechts KachelX + 1 67589 KachelY 71708 0.09841445 -0.29164213 5.638733 -16.709863
    Unten links KachelX 67588 KachelY + 1 71709 0.09836652 -0.29168804 5.635986 -16.712494
    Unten rechts KachelX + 1 67589 KachelY + 1 71709 0.09841445 -0.29168804 5.638733 -16.712494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29164213--0.29168804) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29164213--0.29168804) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(-0.29164213) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.957773013000741 × 6371000     		do = 292.467511529132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09836652-0.09841445) × cos(-0.29168804) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.957759811700275 × 6371000     		du = 292.463480353223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29164213)-sin(-0.29168804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957773013000741-0.957759811700275)×R²
    abs(0.09841445-0.09836652)×1.32013004656706e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.32013004656706e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.32013004656706e-05×40589641000000     		ar = 85543.9962577009m²