Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67581 / 71710
↖ ↑ ↗
← S 16.715124°
E  5.616760°		 ← 292.52 m → S 16.715124°
E  5.619507°		 →
↑
292.49 m
↓
↑
292.49 m
↓
S 16.717755°
E  5.616760°		 ← 292.52 m →
85 559 m²		 S 16.717755°
E  5.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 71710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515605926513672 y=0.547107696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515605926513672 × 217)
    floor (0.515605926513672 × 131072)
    floor (67581.5)     		tx = 67581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.547107696533203 × 217)
    floor (0.547107696533203 × 131072)
    floor (71710.5)     		ty = 71710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67581 / 71710 ti = "17/67581/71710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67581/71710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67581 ÷ 217
    67581 ÷ 131072     		x = 0.515602111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 71710 ÷ 217
    71710 ÷ 131072     		y = 0.547103881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515602111816406 × 2 - 1) × π
    0.0312042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09803096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.547103881835938 × 2 - 1) × π
    -0.094207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.295962418254227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09803096} λ = 0.09803096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.295962418254227))-π/2
    2×atan(0.743815381375474)-π/2
    2×0.639531188494827-π/2
    1.27906237698965-1.57079632675     		φ = -0.29173395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09803096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.616760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29173395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.715124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67581 KachelY 71710 0.09803096 -0.29173395 5.616760 -16.715124
    Oben rechts KachelX + 1 67582 KachelY 71710 0.09807890 -0.29173395 5.619507 -16.715124
    Unten links KachelX 67581 KachelY + 1 71711 0.09803096 -0.29177986 5.616760 -16.717755
    Unten rechts KachelX + 1 67582 KachelY + 1 71711 0.09807890 -0.29177986 5.619507 -16.717755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29173395--0.29177986) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dl = 292.492609999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29173395--0.29177986) × R
    4.59099999999824e-05 × 6371000     		dr = 292.492609999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09803096-0.09807890) × cos(-0.29173395) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.957746608381112 × 6371000     		do = 292.520466597269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09803096-0.09807890) × cos(-0.29177986) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.95773340304328 × 6371000     		du = 292.51643334719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29173395)-sin(-0.29177986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957746608381112-0.95773340304328)×R²
    abs(0.09807890-0.09803096)×1.32053378323338e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.32053378323338e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.32053378323338e-05×40589641000000     		ar = 85559.4849205098m²