Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6758 / 1630
↖ ↑ ↗
← N 80.767668°
W 31.508789°		 ← 391.99 m → N 80.767668°
W 31.486817°		 →
↑
392.07 m
↓
↑
392.07 m
↓
N 80.764142°
W 31.508789°		 ← 392.13 m →
153 715 m²		 N 80.764142°
W 31.486817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412506103515625 y=0.099517822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412506103515625 × 214)
    floor (0.412506103515625 × 16384)
    floor (6758.5)     		tx = 6758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.099517822265625 × 214)
    floor (0.099517822265625 × 16384)
    floor (1630.5)     		ty = 1630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6758 / 1630 ti = "14/6758/1630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6758/1630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6758 ÷ 214
    6758 ÷ 16384     		x = 0.4124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1630 ÷ 214
    1630 ÷ 16384     		y = 0.0994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4124755859375 × 2 - 1) × π
    -0.175048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.54993211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0994873046875 × 2 - 1) × π
    0.801025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.51649548245447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.54993211} λ = -0.54993211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51649548245447))-π/2
    2×atan(12.3851166612197)-π/2
    2×1.49022903025864-π/2
    2.98045806051728-1.57079632675     		φ = 1.40966173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.54993211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40966173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.767668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6758 KachelY 1630 -0.54993211 1.40966173 -31.508789 80.767668
    Oben rechts KachelX + 1 6759 KachelY 1630 -0.54954862 1.40966173 -31.486817 80.767668
    Unten links KachelX 6758 KachelY + 1 1631 -0.54993211 1.40960019 -31.508789 80.764142
    Unten rechts KachelX + 1 6759 KachelY + 1 1631 -0.54954862 1.40960019 -31.486817 80.764142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40966173-1.40960019) × R
    6.15400000001376e-05 × 6371000     		dl = 392.071340000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40966173-1.40960019) × R
    6.15400000001376e-05 × 6371000     		dr = 392.071340000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.54993211--0.54954862) × cos(1.40966173) × R
    0.000383489999999931 × 0.160438208739538 × 6371000     		do = 391.985004473475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.54993211--0.54954862) × cos(1.40960019) × R
    0.000383489999999931 × 0.160498951239524 × 6371000     		du = 392.133411447823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40966173)-sin(1.40960019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160438208739538-0.160498951239524)×R²
    abs(-0.54954862--0.54993211)×6.07424999860551e-05×R²
    0.000383489999999931×6.07424999860551e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.07424999860551e-05×40589641000000     		ar = 153715.179073613m²