Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67573 / 47197
↖ ↑ ↗
← N 44.908414°
E  5.594787°		 ← 216.31 m → N 44.908414°
E  5.597534°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
N 44.906468°
E  5.594787°		 ← 216.32 m →
46 802 m²		 N 44.906468°
E  5.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515544891357422 y=0.360088348388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515544891357422 × 217)
    floor (0.515544891357422 × 131072)
    floor (67573.5)     		tx = 67573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360088348388672 × 217)
    floor (0.360088348388672 × 131072)
    floor (47197.5)     		ty = 47197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67573 / 47197 ti = "17/67573/47197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67573/47197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67573 ÷ 217
    67573 ÷ 131072     		x = 0.515541076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47197 ÷ 217
    47197 ÷ 131072     		y = 0.360084533691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515541076660156 × 2 - 1) × π
    0.0310821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09764746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360084533691406 × 2 - 1) × π
    0.279830932617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.87911480213221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09764746} λ = 0.09764746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87911480213221))-π/2
    2×atan(2.40876652741968)-π/2
    2×1.17729800627753-π/2
    2.35459601255506-1.57079632675     		φ = 0.78379969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09764746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.594787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78379969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.908414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67573 KachelY 47197 0.09764746 0.78379969 5.594787 44.908414
    Oben rechts KachelX + 1 67574 KachelY 47197 0.09769540 0.78379969 5.597534 44.908414
    Unten links KachelX 67573 KachelY + 1 47198 0.09764746 0.78376573 5.594787 44.906468
    Unten rechts KachelX + 1 67574 KachelY + 1 47198 0.09769540 0.78376573 5.597534 44.906468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78379969-0.78376573) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78379969-0.78376573) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09764746-0.09769540) × cos(0.78379969) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708236168713934 × 6371000     		do = 216.313555924201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09764746-0.09769540) × cos(0.78376573) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708260143236463 × 6371000     		du = 216.320878360486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78379969)-sin(0.78376573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708236168713934-0.708260143236463)×R²
    abs(0.09769540-0.09764746)×2.39745225293353e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39745225293353e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39745225293353e-05×40589641000000     		ar = 46802.2113989219m²