Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67573 / 47194
↖ ↑ ↗
← N 44.914249°
E  5.594787°		 ← 216.29 m → N 44.914249°
E  5.597534°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 44.912304°
E  5.594787°		 ← 216.30 m →
46 784 m²		 N 44.912304°
E  5.597534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515544891357422 y=0.360065460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515544891357422 × 217)
    floor (0.515544891357422 × 131072)
    floor (67573.5)     		tx = 67573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360065460205078 × 217)
    floor (0.360065460205078 × 131072)
    floor (47194.5)     		ty = 47194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67573 / 47194 ti = "17/67573/47194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67573/47194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67573 ÷ 217
    67573 ÷ 131072     		x = 0.515541076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47194 ÷ 217
    47194 ÷ 131072     		y = 0.360061645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515541076660156 × 2 - 1) × π
    0.0310821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09764746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360061645507812 × 2 - 1) × π
    0.279876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.87925861283107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09764746} λ = 0.09764746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87925861283107))-π/2
    2×atan(2.40911295872704)-π/2
    2×1.17734892966176-π/2
    2.35469785932352-1.57079632675     		φ = 0.78390153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09764746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.594787°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78390153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.914249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67573 KachelY 47194 0.09764746 0.78390153 5.594787 44.914249
    Oben rechts KachelX + 1 67574 KachelY 47194 0.09769540 0.78390153 5.597534 44.914249
    Unten links KachelX 67573 KachelY + 1 47195 0.09764746 0.78386758 5.594787 44.912304
    Unten rechts KachelX + 1 67574 KachelY + 1 47195 0.09769540 0.78386758 5.597534 44.912304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78390153-0.78386758) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78390153-0.78386758) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09764746-0.09769540) × cos(0.78390153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708164268487591 × 6371000     		do = 216.291595744365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09764746-0.09769540) × cos(0.78386758) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708188238399226 × 6371000     		du = 216.298916772363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78390153)-sin(0.78386758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708164268487591-0.708188238399226)×R²
    abs(0.09769540-0.09764746)×2.39699116348913e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39699116348913e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39699116348913e-05×40589641000000     		ar = 46783.6797897891m²