Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67572 / 47196
↖ ↑ ↗
← N 44.910359°
E  5.592041°		 ← 216.26 m → N 44.910359°
E  5.594787°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 44.908414°
E  5.592041°		 ← 216.27 m →
46 777 m²		 N 44.908414°
E  5.594787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515537261962891 y=0.360080718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515537261962891 × 217)
    floor (0.515537261962891 × 131072)
    floor (67572.5)     		tx = 67572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360080718994141 × 217)
    floor (0.360080718994141 × 131072)
    floor (47196.5)     		ty = 47196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67572 / 47196 ti = "17/67572/47196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67572/47196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67572 ÷ 217
    67572 ÷ 131072     		x = 0.515533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47196 ÷ 217
    47196 ÷ 131072     		y = 0.360076904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515533447265625 × 2 - 1) × π
    0.03106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09759953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360076904296875 × 2 - 1) × π
    0.27984619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87916273903183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09759953} λ = 0.09759953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87916273903183))-π/2
    2×atan(2.40888199898656)-π/2
    2×1.17731498131343-π/2
    2.35462996262685-1.57079632675     		φ = 0.78383364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09759953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.592041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78383364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.910359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67572 KachelY 47196 0.09759953 0.78383364 5.592041 44.910359
    Oben rechts KachelX + 1 67573 KachelY 47196 0.09764746 0.78383364 5.594787 44.910359
    Unten links KachelX 67572 KachelY + 1 47197 0.09759953 0.78379969 5.592041 44.908414
    Unten rechts KachelX + 1 67573 KachelY + 1 47197 0.09764746 0.78379969 5.594787 44.908414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78383364-0.78379969) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78383364-0.78379969) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09759953-0.09764746) × cos(0.78383364) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708212200434605 × 6371000     		do = 216.261115195485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09759953-0.09764746) × cos(0.78379969) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.708236168713934 × 6371000     		du = 216.268434197916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78383364)-sin(0.78379969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708212200434605-0.708236168713934)×R²
    abs(0.09764746-0.09759953)×2.39682793286011e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39682793286011e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39682793286011e-05×40589641000000     		ar = 46777.0867666683m²