Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67571 / 47100
↖ ↑ ↗
← N 45.096791°
E  5.589294°		 ← 215.60 m → N 45.096791°
E  5.592041°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.094852°
E  5.589294°		 ← 215.61 m →
46 484 m²		 N 45.094852°
E  5.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515529632568359 y=0.359348297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515529632568359 × 217)
    floor (0.515529632568359 × 131072)
    floor (67571.5)     		tx = 67571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359348297119141 × 217)
    floor (0.359348297119141 × 131072)
    floor (47100.5)     		ty = 47100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67571 / 47100 ti = "17/67571/47100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67571/47100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67571 ÷ 217
    67571 ÷ 131072     		x = 0.515525817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47100 ÷ 217
    47100 ÷ 131072     		y = 0.359344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515525817871094 × 2 - 1) × π
    0.0310516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09755159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359344482421875 × 2 - 1) × π
    0.28131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.883764681395355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09755159} λ = 0.09755159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883764681395355))-π/2
    2×atan(2.41999308177865)-π/2
    2×1.17894190995411-π/2
    2.35788381990822-1.57079632675     		φ = 0.78708749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09755159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.589294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78708749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.096791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67571 KachelY 47100 0.09755159 0.78708749 5.589294 45.096791
    Oben rechts KachelX + 1 67572 KachelY 47100 0.09759953 0.78708749 5.592041 45.096791
    Unten links KachelX 67571 KachelY + 1 47101 0.09755159 0.78705365 5.589294 45.094852
    Unten rechts KachelX + 1 67572 KachelY + 1 47101 0.09759953 0.78705365 5.592041 45.094852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78708749-0.78705365) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78708749-0.78705365) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09755159-0.09759953) × cos(0.78708749) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.705911238479367 × 6371000     		do = 215.603462386923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09755159-0.09759953) × cos(0.78705365) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.70593520695753 × 6371000     		du = 215.610782977103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78708749)-sin(0.78705365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705911238479367-0.70593520695753)×R²
    abs(0.09759953-0.09755159)×2.39684781626615e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39684781626615e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39684781626615e-05×40589641000000     		ar = 46483.7400005097m²