Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67569 / 47125
↖ ↑ ↗
← N 45.048300°
E  5.583801°		 ← 215.74 m → N 45.048300°
E  5.586548°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 45.046360°
E  5.583801°		 ← 215.75 m →
46 541 m²		 N 45.046360°
E  5.586548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515514373779297 y=0.359539031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515514373779297 × 217)
    floor (0.515514373779297 × 131072)
    floor (67569.5)     		tx = 67569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359539031982422 × 217)
    floor (0.359539031982422 × 131072)
    floor (47125.5)     		ty = 47125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67569 / 47125 ti = "17/67569/47125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67569/47125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67569 ÷ 217
    67569 ÷ 131072     		x = 0.515510559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47125 ÷ 217
    47125 ÷ 131072     		y = 0.359535217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515510559082031 × 2 - 1) × π
    0.0310211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09745572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359535217285156 × 2 - 1) × π
    0.280929565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.882566258904854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09745572} λ = 0.09745572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882566258904854))-π/2
    2×atan(2.41709464476554)-π/2
    2×1.17851874047685-π/2
    2.35703748095371-1.57079632675     		φ = 0.78624115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09745572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.583801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78624115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.048300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67569 KachelY 47125 0.09745572 0.78624115 5.583801 45.048300
    Oben rechts KachelX + 1 67570 KachelY 47125 0.09750365 0.78624115 5.586548 45.048300
    Unten links KachelX 67569 KachelY + 1 47126 0.09745572 0.78620729 5.583801 45.046360
    Unten rechts KachelX + 1 67570 KachelY + 1 47126 0.09750365 0.78620729 5.586548 45.046360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78624115-0.78620729) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78624115-0.78620729) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09745572-0.09750365) × cos(0.78624115) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70651044846967 × 6371000     		do = 215.741464760916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09745572-0.09750365) × cos(0.78620729) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706534410875081 × 6371000     		du = 215.748781969676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78624115)-sin(0.78620729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70651044846967-0.706534410875081)×R²
    abs(0.09750365-0.09745572)×2.39624054109155e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39624054109155e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39624054109155e-05×40589641000000     		ar = 46540.9824518914m²