Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67569 / 47121
↖ ↑ ↗
← N 45.056061°
E  5.583801°		 ← 215.71 m → N 45.056061°
E  5.586548°		 →
↑
215.79 m
↓
↑
215.79 m
↓
N 45.054121°
E  5.583801°		 ← 215.72 m →
46 548 m²		 N 45.054121°
E  5.586548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515514373779297 y=0.359508514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515514373779297 × 217)
    floor (0.515514373779297 × 131072)
    floor (67569.5)     		tx = 67569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359508514404297 × 217)
    floor (0.359508514404297 × 131072)
    floor (47121.5)     		ty = 47121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67569 / 47121 ti = "17/67569/47121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67569/47121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67569 ÷ 217
    67569 ÷ 131072     		x = 0.515510559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47121 ÷ 217
    47121 ÷ 131072     		y = 0.359504699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515510559082031 × 2 - 1) × π
    0.0310211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09745572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359504699707031 × 2 - 1) × π
    0.280990600585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.882758006503334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09745572} λ = 0.09745572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882758006503334))-π/2
    2×atan(2.41755816129664)-π/2
    2×1.17858647172158-π/2
    2.35717294344317-1.57079632675     		φ = 0.78637662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09745572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.583801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78637662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.056061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67569 KachelY 47121 0.09745572 0.78637662 5.583801 45.056061
    Oben rechts KachelX + 1 67570 KachelY 47121 0.09750365 0.78637662 5.586548 45.056061
    Unten links KachelX 67569 KachelY + 1 47122 0.09745572 0.78634275 5.583801 45.054121
    Unten rechts KachelX + 1 67570 KachelY + 1 47122 0.09750365 0.78634275 5.586548 45.054121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78637662-0.78634275) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dl = 215.785769999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78637662-0.78634275) × R
    3.38699999999914e-05 × 6371000     		dr = 215.785769999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09745572-0.09750365) × cos(0.78637662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706414569514212 × 6371000     		do = 215.712186968443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09745572-0.09750365) × cos(0.78634275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.706438542237976 × 6371000     		du = 215.719507328036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78637662)-sin(0.78634275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706414569514212-0.706438542237976)×R²
    abs(0.09750365-0.09745572)×2.39727237634213e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39727237634213e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39727237634213e-05×40589641000000     		ar = 46548.4101826712m²