Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67568 / 47119
↖ ↑ ↗
← N 45.059942°
E  5.581055°		 ← 215.74 m → N 45.059942°
E  5.583801°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 45.058001°
E  5.581055°		 ← 215.75 m →
46 541 m²		 N 45.058001°
E  5.583801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515506744384766 y=0.359493255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515506744384766 × 217)
    floor (0.515506744384766 × 131072)
    floor (67568.5)     		tx = 67568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359493255615234 × 217)
    floor (0.359493255615234 × 131072)
    floor (47119.5)     		ty = 47119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67568 / 47119 ti = "17/67568/47119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67568/47119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67568 ÷ 217
    67568 ÷ 131072     		x = 0.5155029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47119 ÷ 217
    47119 ÷ 131072     		y = 0.359489440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5155029296875 × 2 - 1) × π
    0.031005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09740778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359489440917969 × 2 - 1) × π
    0.281021118164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.882853880302574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09740778} λ = 0.09740778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882853880302574))-π/2
    2×atan(2.41778995289364)-π/2
    2×1.17862033389704-π/2
    2.35724066779407-1.57079632675     		φ = 0.78644434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09740778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.581055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78644434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.059942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67568 KachelY 47119 0.09740778 0.78644434 5.581055 45.059942
    Oben rechts KachelX + 1 67569 KachelY 47119 0.09745572 0.78644434 5.583801 45.059942
    Unten links KachelX 67568 KachelY + 1 47120 0.09740778 0.78641048 5.581055 45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 67569 KachelY + 1 47120 0.09745572 0.78641048 5.583801 45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78644434-0.78641048) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78644434-0.78641048) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09740778-0.09745572) × cos(0.78644434) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706366635792489 × 6371000     		do = 215.742552448215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09740778-0.09745572) × cos(0.78641048) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 215.749872668107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78644434)-sin(0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706366635792489-0.706390603058289)×R²
    abs(0.09745572-0.09740778)×2.39672658000067e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39672658000067e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39672658000067e-05×40589641000000     		ar = 46541.2174145673m²