Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67567 / 47092
↖ ↑ ↗
← N 45.112300°
E  5.578308°		 ← 215.54 m → N 45.112300°
E  5.581055°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
N 45.110362°
E  5.578308°		 ← 215.55 m →
46 457 m²		 N 45.110362°
E  5.581055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515499114990234 y=0.359287261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515499114990234 × 217)
    floor (0.515499114990234 × 131072)
    floor (67567.5)     		tx = 67567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359287261962891 × 217)
    floor (0.359287261962891 × 131072)
    floor (47092.5)     		ty = 47092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67567 / 47092 ti = "17/67567/47092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67567/47092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67567 ÷ 217
    67567 ÷ 131072     		x = 0.515495300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47092 ÷ 217
    47092 ÷ 131072     		y = 0.359283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515495300292969 × 2 - 1) × π
    0.0309906005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09735984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    0.28143310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.884148176592316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09735984} λ = 0.09735984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884148176592316))-π/2
    2×atan(2.42092131547739)-π/2
    2×1.17907724835495-π/2
    2.3581544967099-1.57079632675     		φ = 0.78735817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09735984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.578308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78735817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.112300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67567 KachelY 47092 0.09735984 0.78735817 5.578308 45.112300
    Oben rechts KachelX + 1 67568 KachelY 47092 0.09740778 0.78735817 5.581055 45.112300
    Unten links KachelX 67567 KachelY + 1 47093 0.09735984 0.78732434 5.578308 45.110362
    Unten rechts KachelX + 1 67568 KachelY + 1 47093 0.09740778 0.78732434 5.581055 45.110362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78735817-0.78732434) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78735817-0.78732434) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09735984-0.09740778) × cos(0.78735817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.705719489894665 × 6371000     		do = 215.544897433484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09735984-0.09740778) × cos(0.78732434) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.705743457753398 × 6371000     		du = 215.552217834474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78735817)-sin(0.78732434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705719489894665-0.705743457753398)×R²
    abs(0.09740778-0.09735984)×2.39678587332648e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39678587332648e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39678587332648e-05×40589641000000     		ar = 46457.3810913978m²