Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67566 / 47176
↖ ↑ ↗
← N 44.949249°
E  5.575562°		 ← 216.11 m → N 44.949249°
E  5.578308°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
N 44.947305°
E  5.575562°		 ← 216.12 m →
46 718 m²		 N 44.947305°
E  5.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515491485595703 y=0.359928131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515491485595703 × 217)
    floor (0.515491485595703 × 131072)
    floor (67566.5)     		tx = 67566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359928131103516 × 217)
    floor (0.359928131103516 × 131072)
    floor (47176.5)     		ty = 47176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67566 / 47176 ti = "17/67566/47176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67566/47176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67566 ÷ 217
    67566 ÷ 131072     		x = 0.515487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47176 ÷ 217
    47176 ÷ 131072     		y = 0.35992431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515487670898438 × 2 - 1) × π
    0.030975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09731191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35992431640625 × 2 - 1) × π
    0.2801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.880121477024231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09731191} λ = 0.09731191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880121477024231))-π/2
    2×atan(2.41119259312841)-π/2
    2×1.17765436138956-π/2
    2.35530872277911-1.57079632675     		φ = 0.78451240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09731191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78451240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.949249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67566 KachelY 47176 0.09731191 0.78451240 5.575562 44.949249
    Oben rechts KachelX + 1 67567 KachelY 47176 0.09735984 0.78451240 5.578308 44.949249
    Unten links KachelX 67566 KachelY + 1 47177 0.09731191 0.78447847 5.575562 44.947305
    Unten rechts KachelX + 1 67567 KachelY + 1 47177 0.09735984 0.78447847 5.578308 44.947305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78451240-0.78447847) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dl = 216.168029999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78451240-0.78447847) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dr = 216.168029999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09731191-0.09735984) × cos(0.78451240) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.707732833019741 × 6371000     		do = 216.114734588566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09731191-0.09735984) × cos(0.78447847) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.707756803484673 × 6371000     		du = 216.122054258398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78451240)-sin(0.78447847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707732833019741-0.707756803484673)×R²
    abs(0.09735984-0.09731191)×2.3970464931744e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.3970464931744e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3970464931744e-05×40589641000000     		ar = 46717.8875737561m²