Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67566 / 47091
↖ ↑ ↗
← N 45.114238°
E  5.575562°		 ← 215.49 m → N 45.114238°
E  5.578308°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
N 45.112300°
E  5.575562°		 ← 215.50 m →
46 446 m²		 N 45.112300°
E  5.578308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515491485595703 y=0.359279632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515491485595703 × 217)
    floor (0.515491485595703 × 131072)
    floor (67566.5)     		tx = 67566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359279632568359 × 217)
    floor (0.359279632568359 × 131072)
    floor (47091.5)     		ty = 47091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67566 / 47091 ti = "17/67566/47091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67566/47091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67566 ÷ 217
    67566 ÷ 131072     		x = 0.515487670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47091 ÷ 217
    47091 ÷ 131072     		y = 0.359275817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515487670898438 × 2 - 1) × π
    0.030975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09731191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359275817871094 × 2 - 1) × π
    0.281448364257812 × 3.1415926535     		Φ = 0.884196113491936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09731191} λ = 0.09731191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.884196113491936))-π/2
    2×atan(2.4210373697211)-π/2
    2×1.17909416306989-π/2
    2.35818832613977-1.57079632675     		φ = 0.78739200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09731191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78739200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.114238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67566 KachelY 47091 0.09731191 0.78739200 5.575562 45.114238
    Oben rechts KachelX + 1 67567 KachelY 47091 0.09735984 0.78739200 5.578308 45.114238
    Unten links KachelX 67566 KachelY + 1 47092 0.09731191 0.78735817 5.575562 45.112300
    Unten rechts KachelX + 1 67567 KachelY + 1 47092 0.09735984 0.78735817 5.578308 45.112300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78739200-0.78735817) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78739200-0.78735817) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09731191-0.09735984) × cos(0.78739200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705695521228258 × 6371000     		do = 215.492616924176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09731191-0.09735984) × cos(0.78735817) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705719489894665 × 6371000     		du = 215.499936044806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78739200)-sin(0.78735817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705695521228258-0.705719489894665)×R²
    abs(0.09735984-0.09731191)×2.39686664073036e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39686664073036e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39686664073036e-05×40589641000000     		ar = 46446.1128867114m²