Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67565 / 47122
↖ ↑ ↗
← N 45.054121°
E  5.572815°		 ← 215.76 m → N 45.054121°
E  5.575562°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 45.052181°
E  5.572815°		 ← 215.77 m →
46 546 m²		 N 45.052181°
E  5.575562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515483856201172 y=0.359516143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515483856201172 × 217)
    floor (0.515483856201172 × 131072)
    floor (67565.5)     		tx = 67565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359516143798828 × 217)
    floor (0.359516143798828 × 131072)
    floor (47122.5)     		ty = 47122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67565 / 47122 ti = "17/67565/47122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67565/47122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67565 ÷ 217
    67565 ÷ 131072     		x = 0.515480041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47122 ÷ 217
    47122 ÷ 131072     		y = 0.359512329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515480041503906 × 2 - 1) × π
    0.0309600830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09726397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359512329101562 × 2 - 1) × π
    0.280975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882710069603714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09726397} λ = 0.09726397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882710069603714))-π/2
    2×atan(2.4174422738314)-π/2
    2×1.17856953977213-π/2
    2.35713907954426-1.57079632675     		φ = 0.78634275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09726397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.572815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78634275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.054121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67565 KachelY 47122 0.09726397 0.78634275 5.572815 45.054121
    Oben rechts KachelX + 1 67566 KachelY 47122 0.09731191 0.78634275 5.575562 45.054121
    Unten links KachelX 67565 KachelY + 1 47123 0.09726397 0.78630889 5.572815 45.052181
    Unten rechts KachelX + 1 67566 KachelY + 1 47123 0.09731191 0.78630889 5.575562 45.052181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78634275-0.78630889) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dl = 215.722059999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78634275-0.78630889) × R
    3.38599999999412e-05 × 6371000     		dr = 215.722059999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09726397-0.09731191) × cos(0.78634275) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706438542237976 × 6371000     		do = 215.764514527538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09726397-0.09731191) × cos(0.78630889) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.706462507073824 × 6371000     		du = 215.771834005261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78634275)-sin(0.78630889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706438542237976-0.706462507073824)×R²
    abs(0.09731191-0.09726397)×2.39648358487665e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39648358487665e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39648358487665e-05×40589641000000     		ar = 46545.9550394985m²