Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67564 / 47184
↖ ↑ ↗
← N 44.933697°
E  5.570068°		 ← 216.22 m → N 44.933697°
E  5.572815°		 →
↑
216.23 m
↓
↑
216.23 m
↓
N 44.931752°
E  5.570068°		 ← 216.23 m →
46 754 m²		 N 44.931752°
E  5.572815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515476226806641 y=0.359989166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515476226806641 × 217)
    floor (0.515476226806641 × 131072)
    floor (67564.5)     		tx = 67564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359989166259766 × 217)
    floor (0.359989166259766 × 131072)
    floor (47184.5)     		ty = 47184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67564 / 47184 ti = "17/67564/47184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67564/47184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67564 ÷ 217
    67564 ÷ 131072     		x = 0.515472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47184 ÷ 217
    47184 ÷ 131072     		y = 0.3599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515472412109375 × 2 - 1) × π
    0.03094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09721603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3599853515625 × 2 - 1) × π
    0.280029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.87973798182727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09721603} λ = 0.09721603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87973798182727))-π/2
    2×atan(2.41026808963265)-π/2
    2×1.17751863693438-π/2
    2.35503727386876-1.57079632675     		φ = 0.78424095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09721603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.570068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78424095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.933697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67564 KachelY 47184 0.09721603 0.78424095 5.570068 44.933697
    Oben rechts KachelX + 1 67565 KachelY 47184 0.09726397 0.78424095 5.572815 44.933697
    Unten links KachelX 67564 KachelY + 1 47185 0.09721603 0.78420701 5.570068 44.931752
    Unten rechts KachelX + 1 67565 KachelY + 1 47185 0.09726397 0.78420701 5.572815 44.931752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78424095-0.78420701) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dl = 216.231740000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78424095-0.78420701) × R
    3.39400000000101e-05 × 6371000     		dr = 216.231740000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09721603-0.09726397) × cos(0.78424095) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707924580986091 × 6371000     		do = 216.218389011913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09721603-0.09726397) × cos(0.78420701) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707948551994239 × 6371000     		du = 216.225710374815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78424095)-sin(0.78420701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707924580986091-0.707948551994239)×R²
    abs(0.09726397-0.09721603)×2.39710081477718e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39710081477718e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39710081477718e-05×40589641000000     		ar = 46754.0700360228m²