Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67564 / 47180
↖ ↑ ↗
← N 44.941473°
E  5.570068°		 ← 216.19 m → N 44.941473°
E  5.572815°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
N 44.939529°
E  5.570068°		 ← 216.20 m →
46 734 m²		 N 44.939529°
E  5.572815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515476226806641 y=0.359958648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515476226806641 × 217)
    floor (0.515476226806641 × 131072)
    floor (67564.5)     		tx = 67564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359958648681641 × 217)
    floor (0.359958648681641 × 131072)
    floor (47180.5)     		ty = 47180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67564 / 47180 ti = "17/67564/47180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67564/47180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67564 ÷ 217
    67564 ÷ 131072     		x = 0.515472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47180 ÷ 217
    47180 ÷ 131072     		y = 0.359954833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515472412109375 × 2 - 1) × π
    0.03094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09721603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359954833984375 × 2 - 1) × π
    0.28009033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.879929729425751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09721603} λ = 0.09721603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.879929729425751))-π/2
    2×atan(2.4107302970627)-π/2
    2×1.17758650375785-π/2
    2.3551730075157-1.57079632675     		φ = 0.78437668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09721603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.570068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78437668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.941473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67564 KachelY 47180 0.09721603 0.78437668 5.570068 44.941473
    Oben rechts KachelX + 1 67565 KachelY 47180 0.09726397 0.78437668 5.572815 44.941473
    Unten links KachelX 67564 KachelY + 1 47181 0.09721603 0.78434275 5.570068 44.939529
    Unten rechts KachelX + 1 67565 KachelY + 1 47181 0.09726397 0.78434275 5.572815 44.939529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78437668-0.78434275) × R
    3.39300000000708e-05 × 6371000     		dl = 216.168030000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78437668-0.78434275) × R
    3.39300000000708e-05 × 6371000     		dr = 216.168030000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09721603-0.09726397) × cos(0.78437668) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.707828709990549 × 6371000     		do = 216.189107542155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09721603-0.09726397) × cos(0.78434275) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.70785267719611 × 6371000     		du = 216.196427743649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78437668)-sin(0.78434275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707828709990549-0.70785267719611)×R²
    abs(0.09726397-0.09721603)×2.39672055606377e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.39672055606377e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.39672055606377e-05×40589641000000     		ar = 46733.9646862012m²