Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67563 / 47102
↖ ↑ ↗
← N 45.092914°
E  5.567322°		 ← 215.57 m → N 45.092914°
E  5.570068°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.090975°
E  5.567322°		 ← 215.58 m →
46 477 m²		 N 45.090975°
E  5.570068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515468597412109 y=0.359363555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515468597412109 × 217)
    floor (0.515468597412109 × 131072)
    floor (67563.5)     		tx = 67563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359363555908203 × 217)
    floor (0.359363555908203 × 131072)
    floor (47102.5)     		ty = 47102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67563 / 47102 ti = "17/67563/47102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67563/47102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67563 ÷ 217
    67563 ÷ 131072     		x = 0.515464782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47102 ÷ 217
    47102 ÷ 131072     		y = 0.359359741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515464782714844 × 2 - 1) × π
    0.0309295654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09716810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359359741210938 × 2 - 1) × π
    0.281280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883668807596115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09716810} λ = 0.09716810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883668807596115))-π/2
    2×atan(2.41976107896944)-π/2
    2×1.17890806960907-π/2
    2.35781613921814-1.57079632675     		φ = 0.78701981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09716810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.567322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78701981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.092914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67563 KachelY 47102 0.09716810 0.78701981 5.567322 45.092914
    Oben rechts KachelX + 1 67564 KachelY 47102 0.09721603 0.78701981 5.570068 45.092914
    Unten links KachelX 67563 KachelY + 1 47103 0.09716810 0.78698597 5.567322 45.090975
    Unten rechts KachelX + 1 67564 KachelY + 1 47103 0.09721603 0.78698597 5.570068 45.090975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78701981-0.78698597) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78701981-0.78698597) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09716810-0.09721603) × cos(0.78701981) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705959174627294 × 6371000     		do = 215.573126661322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09716810-0.09721603) × cos(0.78698597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705983141488632 × 6371000     		du = 215.580445230753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78701981)-sin(0.78698597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705959174627294-0.705983141488632)×R²
    abs(0.09721603-0.09716810)×2.39668613380983e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39668613380983e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39668613380983e-05×40589641000000     		ar = 46477.1995628065m²