Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67562 / 47170
↖ ↑ ↗
← N 44.960911°
E  5.564575°		 ← 216.12 m → N 44.960911°
E  5.567322°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 44.958967°
E  5.564575°		 ← 216.12 m →
46 704 m²		 N 44.958967°
E  5.567322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515460968017578 y=0.359882354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515460968017578 × 217)
    floor (0.515460968017578 × 131072)
    floor (67562.5)     		tx = 67562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359882354736328 × 217)
    floor (0.359882354736328 × 131072)
    floor (47170.5)     		ty = 47170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67562 / 47170 ti = "17/67562/47170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67562/47170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67562 ÷ 217
    67562 ÷ 131072     		x = 0.515457153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47170 ÷ 217
    47170 ÷ 131072     		y = 0.359878540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515457153320312 × 2 - 1) × π
    0.030914306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09712016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359878540039062 × 2 - 1) × π
    0.280242919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.880409098421951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09712016} λ = 0.09712016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880409098421951))-π/2
    2×atan(2.41188620345602)-π/2
    2×1.17775613060254-π/2
    2.35551226120508-1.57079632675     		φ = 0.78471593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09712016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.564575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78471593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.960911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67562 KachelY 47170 0.09712016 0.78471593 5.564575 44.960911
    Oben rechts KachelX + 1 67563 KachelY 47170 0.09716810 0.78471593 5.567322 44.960911
    Unten links KachelX 67562 KachelY + 1 47171 0.09712016 0.78468201 5.564575 44.958967
    Unten rechts KachelX + 1 67563 KachelY + 1 47171 0.09716810 0.78468201 5.567322 44.958967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78471593-0.78468201) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dl = 216.104319999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78471593-0.78468201) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dr = 216.104319999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09712016-0.09716810) × cos(0.78471593) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		do = 216.11590263084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09712016-0.09716810) × cos(0.78468201) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.707612996738036 × 6371000     		du = 216.123223162315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78471593)-sin(0.78468201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707589028452077-0.707612996738036)×R²
    abs(0.09716810-0.09712016)×2.39682859581869e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39682859581869e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39682859581869e-05×40589641000000     		ar = 46704.3711827523m²