Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6756 / 1732
↖ ↑ ↗
← N 80.401063°
W 31.552734°		 ← 407.41 m → N 80.401063°
W 31.530762°		 →
↑
407.49 m
↓
↑
407.49 m
↓
N 80.397398°
W 31.552734°		 ← 407.56 m →
166 045 m²		 N 80.397398°
W 31.530762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.412384033203125 y=0.105743408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.412384033203125 × 214)
    floor (0.412384033203125 × 16384)
    floor (6756.5)     		tx = 6756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105743408203125 × 214)
    floor (0.105743408203125 × 16384)
    floor (1732.5)     		ty = 1732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6756 / 1732 ti = "14/6756/1732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6756/1732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6756 ÷ 214
    6756 ÷ 16384     		x = 0.412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1732 ÷ 214
    1732 ÷ 16384     		y = 0.105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.17529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.55069910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105712890625 × 2 - 1) × π
    0.78857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4773789723645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55069910} λ = -0.55069910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4773789723645))-π/2
    2×atan(11.9100070149598)-π/2
    2×1.48702979668054-π/2
    2.97405959336108-1.57079632675     		φ = 1.40326327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55069910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40326327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.401063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6756 KachelY 1732 -0.55069910 1.40326327 -31.552734 80.401063
    Oben rechts KachelX + 1 6757 KachelY 1732 -0.55031561 1.40326327 -31.530762 80.401063
    Unten links KachelX 6756 KachelY + 1 1733 -0.55069910 1.40319931 -31.552734 80.397398
    Unten rechts KachelX + 1 6757 KachelY + 1 1733 -0.55031561 1.40319931 -31.530762 80.397398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40326327-1.40319931) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dl = 407.489160000542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40326327-1.40319931) × R
    6.39600000000851e-05 × 6371000     		dr = 407.489160000542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55069910--0.55031561) × cos(1.40326327) × R
    0.000383490000000042 × 0.166750455083917 × 6371000     		do = 407.407178100301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55069910--0.55031561) × cos(1.40319931) × R
    0.000383490000000042 × 0.166813519247195 × 6371000     		du = 407.561257396741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40326327)-sin(1.40319931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166750455083917-0.166813519247195)×R²
    abs(-0.55031561--0.55069910)×6.30641632781148e-05×R²
    0.000383490000000042×6.30641632781148e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.30641632781148e-05×40589641000000     		ar = 166045.401661501m²