Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67559 / 47099
↖ ↑ ↗
← N 45.098730°
E  5.556336°		 ← 215.55 m → N 45.098730°
E  5.559082°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
N 45.096791°
E  5.556336°		 ← 215.56 m →
46 472 m²		 N 45.096791°
E  5.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515438079833984 y=0.359340667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515438079833984 × 217)
    floor (0.515438079833984 × 131072)
    floor (67559.5)     		tx = 67559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359340667724609 × 217)
    floor (0.359340667724609 × 131072)
    floor (47099.5)     		ty = 47099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67559 / 47099 ti = "17/67559/47099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67559/47099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67559 ÷ 217
    67559 ÷ 131072     		x = 0.515434265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47099 ÷ 217
    47099 ÷ 131072     		y = 0.359336853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515434265136719 × 2 - 1) × π
    0.0308685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09697635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359336853027344 × 2 - 1) × π
    0.281326293945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.883812618294975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09697635} λ = 0.09697635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883812618294975))-π/2
    2×atan(2.42010909152464)-π/2
    2×1.17895882926491-π/2
    2.35791765852981-1.57079632675     		φ = 0.78712133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09697635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.556336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78712133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.098730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67559 KachelY 47099 0.09697635 0.78712133 5.556336 45.098730
    Oben rechts KachelX + 1 67560 KachelY 47099 0.09702428 0.78712133 5.559082 45.098730
    Unten links KachelX 67559 KachelY + 1 47100 0.09697635 0.78708749 5.556336 45.096791
    Unten rechts KachelX + 1 67560 KachelY + 1 47100 0.09702428 0.78708749 5.559082 45.096791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78712133-0.78708749) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78712133-0.78708749) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.78712133) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705887269192833 × 6371000     		do = 215.551169471887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.78708749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705911238479367 × 6371000     		du = 215.558488781881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78712133)-sin(0.78708749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705887269192833-0.705911238479367)×R²
    abs(0.09702428-0.09697635)×2.39692865338093e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39692865338093e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39692865338093e-05×40589641000000     		ar = 46472.465790354m²