Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67559 / 47096
↖ ↑ ↗
← N 45.104546°
E  5.556336°		 ← 215.53 m → N 45.104546°
E  5.559082°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
N 45.102608°
E  5.556336°		 ← 215.54 m →
46 454 m²		 N 45.102608°
E  5.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515438079833984 y=0.359317779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515438079833984 × 217)
    floor (0.515438079833984 × 131072)
    floor (67559.5)     		tx = 67559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359317779541016 × 217)
    floor (0.359317779541016 × 131072)
    floor (47096.5)     		ty = 47096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67559 / 47096 ti = "17/67559/47096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67559/47096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67559 ÷ 217
    67559 ÷ 131072     		x = 0.515434265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47096 ÷ 217
    47096 ÷ 131072     		y = 0.35931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515434265136719 × 2 - 1) × π
    0.0308685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09697635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    0.2813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.883956428993835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09697635} λ = 0.09697635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883956428993835))-π/2
    2×atan(2.42045715413138)-π/2
    2×1.17900958375039-π/2
    2.35801916750079-1.57079632675     		φ = 0.78722284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09697635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.556336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78722284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.104546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67559 KachelY 47096 0.09697635 0.78722284 5.556336 45.104546
    Oben rechts KachelX + 1 67560 KachelY 47096 0.09702428 0.78722284 5.559082 45.104546
    Unten links KachelX 67559 KachelY + 1 47097 0.09697635 0.78718901 5.556336 45.102608
    Unten rechts KachelX + 1 67560 KachelY + 1 47097 0.09702428 0.78718901 5.559082 45.102608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78722284-0.78718901) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78722284-0.78718901) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.78722284) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705815363567238 × 6371000     		do = 215.529212224087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.78718901) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.705839328194762 × 6371000     		du = 215.536530111396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78722284)-sin(0.78718901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705815363567238-0.705839328194762)×R²
    abs(0.09702428-0.09697635)×2.39646275241867e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39646275241867e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39646275241867e-05×40589641000000     		ar = 46454.0001727618m²