Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67559 / 44962
↖ ↑ ↗
← N 49.091855°
E  5.556336°		 ← 199.97 m → N 49.091855°
E  5.559082°		 →
↑
199.99 m
↓
↑
199.99 m
↓
N 49.090057°
E  5.556336°		 ← 199.97 m →
39 991 m²		 N 49.090057°
E  5.559082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515438079833984 y=0.343036651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515438079833984 × 217)
    floor (0.515438079833984 × 131072)
    floor (67559.5)     		tx = 67559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343036651611328 × 217)
    floor (0.343036651611328 × 131072)
    floor (44962.5)     		ty = 44962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67559 / 44962 ti = "17/67559/44962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67559/44962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67559 ÷ 217
    67559 ÷ 131072     		x = 0.515434265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44962 ÷ 217
    44962 ÷ 131072     		y = 0.343032836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515434265136719 × 2 - 1) × π
    0.0308685302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09697635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343032836914062 × 2 - 1) × π
    0.313934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.986253772783035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09697635} λ = 0.09697635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986253772783035))-π/2
    2×atan(2.6811713576478)-π/2
    2×1.21380541712619-π/2
    2.42761083425238-1.57079632675     		φ = 0.85681451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09697635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.556336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85681451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.091855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67559 KachelY 44962 0.09697635 0.85681451 5.556336 49.091855
    Oben rechts KachelX + 1 67560 KachelY 44962 0.09702428 0.85681451 5.559082 49.091855
    Unten links KachelX 67559 KachelY + 1 44963 0.09697635 0.85678312 5.556336 49.090057
    Unten rechts KachelX + 1 67560 KachelY + 1 44963 0.09702428 0.85678312 5.559082 49.090057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85681451-0.85678312) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dl = 199.985689999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85681451-0.85678312) × R
    3.13899999999645e-05 × 6371000     		dr = 199.985689999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.85681451) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654848253735203 × 6371000     		do = 199.965792102543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09697635-0.09702428) × cos(0.85678312) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.654871976731168 × 6371000     		du = 199.973036204749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85681451)-sin(0.85678312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654848253735203-0.654871976731168)×R²
    abs(0.09702428-0.09697635)×2.37229959645369e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37229959645369e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37229959645369e-05×40589641000000     		ar = 39991.0212716822m²